2024-2025学年四川省成都市树德中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市树德中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若对，都有，则为( )
A. B. C. D. 或
2.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
3.如图为年中国大学生使用偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于年中国大学生使用的结论正确的是( )
A. 超过的大学生更爱使用购物类
B. 超过半数的大学生使用是为了学习与生活需要
C. 使用偏好情况中个占比数字的极差是
D. 使用目的中个占比数字的分位数是
4.数列为等比数列，若，，则为( )
A. B. C. D. 不确定
5.已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
6.已知四面体的外接球半径为，若，则四面体的体积最大值为( )
A. B. C. D.
7.设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于，两点在第一象限，在第四象限，为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”则下列结论正确的是
A. 、为对立事件 B.
C. D.
10.对于函数与，下列说法正确的是( )
A. 与有相同零点
B. 当时，与的交点个数为
C. 将的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到的图像
D. 将的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到的图像
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线在的切线方程为
B. 若当且仅当，则的取值范围
C.
D. 若函数有三个零点为，，，则的取值范围
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知数列满足：，则为______．
14.设，，，是数字，，，的排列，若存在成立，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，．
求；
若，则三角形的面积为，求，．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若对于恒成立，求的最大值．
18.本小题分
已知椭圆：过，，中的三点．
求椭圆方程及其离心率；
过作直线交于，两点，联结，，过作轴垂线分别交，于，求证：为中点．
19.本小题分
若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．
若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
从集合中任意取出两个不同数列，，记．
若，求随机变量的分布列与数学期望；
证明：．
参考答案
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15.解：由，根据余弦定理得，
化简得，所以，
因为，所以；
由，得，解得，
又因为，由余弦定理知，所以，
所以，所以，
又因为，所以．
16.解：证明：平面平面，交线为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
取中点为，连接，，
又因为，所以，则，
因为，所以，则，
以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，则，得，
令，则，，所以，
设点到平面的距离为．
则，
所以点到平面的距离为为．
17.解：因为，所以，
当，，所以在上单调递增，
当，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上为单增递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由知，当，在上为单调递增，
且，，不合题意，
当，在上单调递增，且，，
所以，则的最大值为，
当，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
因为，
由不等式，可得，
所以，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
即，即，
此时的最大值为，
综上，的最大值为．
18.解：由于，关于轴对称，故A，同时在椭圆：上，
若，，在上，
则，解得，
此时方程为：，为圆的方程，不合题意，
若，，在上，
则，解得，，
故椭圆方程为：，
，离心率为；
证明：由题，易得直线，
如图，设：，，，
联立，化简得：，
则，解得：或，
所以，则，
在中，令，
得，
故，
直线，令，
得，
故，
要证为中点，即证，
即证，
即证，
将代入上式，
得，
故为中点．
19.解：数列满足，
则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．
是项数列，当且仅当时，，
当和时，．
设数列的所有项的和为，
则
，
数列的所有项的和．
若，
则中的数列有，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；
从集合中任意取出两个不同数列，，，
的取值有，，，
从个数列中任选个，共有种情况，
其中当时，若选择，，，可从，，；，，；，，任选个，共有种情况，
若选择，，，可以从，，；，，；，，任选个，共有种情况，
另外，，和，，，，，两者之一满足要求，，，和，，，，，两者之一满足要求，
，，和，，，，，两者之一满足要求，共有种情况，
故，
当时，，，和，，满足要求，，，和，，满足要求，，，和，，满足要求，
，，和，，满足要求，共有种情况，，
，
随机变量的分布列：
则随机变量的数学期望为；
证明：数列，是从集合中任意取出的两个数列，
数列，为项数列，
的可能取值为：，，，，．
根据数列中的个数可得，集合中元素的个数共有个，
当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同，
从项中选择项，和在项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反，
，这个问题是组合问题，
所有的情况会重复次，一共有种情况，
，
随机变量的分布列为：
，
，
．
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