河北省“沧衡名校联盟·金太阳联考”2025届高三年级上学期期中考试数学试题（含答案）

河北省“沧衡名校联盟·金太阳联考”2025届高三年级上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3.在等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升已知溶液中氢离子的浓度是摩尔升，则溶液的值约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
7.如图，是圆的一条直径，是圆的一条弦，点在线段上，若，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.设的内角，，的对边分别是，，，若，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 的外接圆的面积是
C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是
11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.正偶数排列如图所示，表示第行第个数，如，若，则 ．





14.已知函数，若对任意的，成立，则正数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且B.
求的大小
若，且的面积是，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程
若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
17.本小题分
设数列的前项和为，且．
求的通项公式
若求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式
求的单调递减区间
若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
19.本小题分
若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点．
证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．
对任意，，函数，都满足．
若是“缺陷偶函数”，证明：函数有个极值点．
若，证明：当时，．
参考数据：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以B.
因为，所以，所以，
所以，即，
所以，又，所以；
因为的面积是，所以，解得．
由余弦定理可得，即，
则，
即，
故．

16.解：因为，所以，
所以，，
则所求切线方程为，即或．
设过点的切线的切点为由可知，
则所作切线斜率．
由直线的斜率计算公式可得，
则，所以．
因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不同的实数根设函数，则．
由，得或，则在和上单调递增
由，得，则在上单调递减．
由题意可得
解得，即的取值范围为．
17.解：因为，所以当时，，所以，即．
当时，，解得，
则是首项为，公比为的等比数列，故．
由可知当为奇数时，
当为偶数时，．
当为奇数时，
当为偶数时，
．
综上，
18.解：由题意可得，则因为，且，所以．
由图可知，则，解得．
因为，所以由图可知，解得．
故
令，解得，
故的单调递减区间是．
因为，所以，所以当，即时，取得最小值．
因为存在，使得不等式成立，
所以，即，解得，故的取值范围是．
19.解：由可得，
由可得，解得，
所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为，
由可得对任意，，恒成立，
所以存在常数，使得，
令，则，且，
解得，
，则，
由于是“缺陷偶函数”，故，
即，即，
则，得，
，
由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有两个极值点．
若，即，则，故，
当时，要证，只需要证．，
因为，故，
只需证，
令，
当单调递减，当单调递增，
故，
所以，从而，故，
时，得证．

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