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24.2.1点与圆的位置关系 导学案
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念
4.了解反证法的证明思想
解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.
新知探究
下图中点和圆的位置关系有哪几种？
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系.
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？
问题1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
问题2：如何过两点A，B作一个圆？
过两点可以作多少个圆？
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
归纳：
定理：_______________的______个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的_________________，叫做这个三角形的______.
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
警示误区
假设否定的是命题的结论，而不是已知条件.
在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.
典例精析
1.平面内，已知⊙O的直径为20cm，PO＝12cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O内
D．不能确定
2.下列说法中，正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．三角形有且只有一个外接圆
3. 如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠C=45°，AB=4，求⊙ O 的半径.
.
课堂小结
谈谈本节课的收获和感想
作业布置
见精准作业单中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.1点与圆的位置关系 教学设计
教学目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念
4.了解反证法的证明思想
教学重点、难点
重点：理解并掌握点和圆的三种位置关系.；
难点：理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用；
教学过程
一、新知导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.
二、新知探究
下图中点和圆的位置关系有哪几种？
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系.
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
问题1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
以不与点A重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
问题2：如何过两点A，B作一个圆？
过两点可以作多少个圆？
作线段AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
归纳：
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l.
这与学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
警示误区
假设否定的是命题的结论，而不是已知条件.
在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.
典例精析
1.平面内，已知⊙O的直径为20cm，PO＝12cm，则点P与⊙O的位置关系是（ B ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O内 D．不能确定
2.下列说法中，正确的是( D )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．三角形有且只有一个外接圆
3. 如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠C=45°，AB=4，求⊙ O 的半径.
解：如图，设⊙ O 的半径为r.
∵∠ C=45°，∴∠ AOB=2 ∠ C=90°.
∴ OA2+OB2=AB2，即r2+r2=42.
解得r1=2 ，r2=－2 (不符合题意，舍去).
∴⊙ O 的半径为2 .
课堂小结
谈谈本节课的收获和感想
作业布置
见精准作业单
板书设计
24.2.1点与圆的位置关系课前诊测
1．如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数．
精准作业
必做题
1．已知的半径为，点A在外，则的长可能为（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径为3，，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定
3．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）
（2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图：
①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标；
(2)求的半径；
(3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由．
选做题
8．如图，平面直角坐标系中有一个．
(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______；
(2)判断点与的位置关系，说明理由；
(3)最小覆盖圆的半径为______．
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试卷第1页，共3页
参考答案
课前诊测
1.解：是的中点，
，
，
是的直径，
，
，
四个点都在上，
，
．
精准作业
D
B
D
C
C
6.解：（1）的外接圆如图所示：
（2）连接，
∵，
由作图知，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴的半径．
7.（1）解：圆心D如图所示；
圆心坐标为；
（2）解：由勾股定理得半径为：；
（3）解：点E在内部；
，
而，
故点E在内部．
8.（1）
分别作边的垂直平分线，相交于点
（2）∵，
∴
由图可得：
∴
∴
∴点在圆外；
（3）取中点P，连接，
最小覆盖圆的半径为的长，
∴(共24张PPT)
人教版.九年级上册
24.2.1点与圆的位置关系
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念
4.了解反证法的证明思想
新知导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.
新知探究
下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.A
.
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
.
B
新知探究
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系.
新知探究
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
新知探究
探究
问题1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
·
·
·
·
·
以不与点A重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
新知探究
问题2：如何过两点A，B作一个圆？
过两点可以作多少个圆？
作线段AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
B
A
新知探究
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新知探究
归纳
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆.
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
确定一个
圆的条件
新知探究
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆.
A
B
C
所作圆经过A，B，C三点
圆心O到A，B，C三点距离相等
圆心O在线段AB的垂直平分线上
圆心O也在线段BC的垂直平分线上
圆心O为两线段垂直平分线的交点
新知探究
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆.
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新知探究
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
三角形外接圆的作法
新知探究
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.
外接圆圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
圆的内接三角形
三角形的外接圆
三角形的外心
A
B
C
O
外心
1.三边垂直平分线的交点
2.到三个顶点距离相等
新知探究
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
新知探究
思考
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
l1
l2
A
B
C
P
如图，假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l.
这与学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤
假设命题的结论不成立
从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
新知探究
这样，过点O就有两条直线 都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
根据“同位角相等，两条直线平行”，可得A′B′∥CD
例 如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.
解：假设∠1≠∠2，过点O作直线 ，使∠EOB′
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1＝∠2.
新知探究
新知探究
警示误区
假设否定的是命题的结论，而不是已知条件.
在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.
典例精析
1.平面内，已知⊙O的直径为20cm，PO＝12cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O内
D．不能确定
B
典例精析
2.下列说法中，正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．三角形有且只有一个外接圆
D
典例精析
3. 如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠C=45°，AB=4，求⊙ O 的半径.
解：如图，设⊙ O 的半径为r.
∵∠ C=45°，∴∠ AOB=2 ∠ C=90°.
∴ OA2+OB2=AB2，即r2+r2=42.
解得r1=2 ，r2=－2 (不符合题意，舍去).
∴⊙ O 的半径为2 .
课堂总结
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理：
过不在同一直线上的三个点确定一个圆
一个三角形的外接圆是唯一的.
注意：同一直线上的三个点不能作圆
点P在圆环内
r≤d≤R
R
r
P
谢谢！
