陕西省教育联盟2025届高三上学期仿真模拟（一） 数学试题（含答案）

陕西省教育联盟2025届高三上学期仿真模拟（一）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的共轭复数是
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，集合，则集合
A. B. C. D.
3.设向量，满足，，则，为邻边的矩形对角线长为
A. B. C. D.
4.下列说法：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加个单位；线性回归方程必过；在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患肺病；其中错误的个数是
A. B. C. D.
5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，斗为升，则马主人应偿还升粟
A. B. C. D.
6.如图所示，已知双曲线：，左焦点为，直线过右顶点垂直于实轴分别交两条渐近线于，，若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7.三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为
A. B. C. D.
8.已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知多项式的展开式，则下列说法不正确的是
A. 常数项为 B. 项的系数为
C. 展开式的所有项的系数和为 D. 展开式中含有
10.已知函数在区间上单调递减，则下列实数满足条件的是
A. B. C. D.
11.已知抛物线：的准线与圆：相切，为抛物线上的动点，是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，抛物线的焦点为，则下列结论正确的是
A. 点的坐标为
B. 的最小值为
C. 存在两个点，使得
D. 若为正三角形，则圆与直线可能相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在点处的切线方程是，则________．
13.如图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且 平面，则与平面所成角的正切值的最大值是________．
14.已知函数为偶函数，函数，则 ；若对恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的最大值；
若在区间上存在零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，是的中点，是上一点，．
证明： 平面；
若，，求二面角的大小．
18.本小题分
已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．
求椭圆的标准方程；
若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与椭圆交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值．
19.本小题分
年月日至月日，夏季奥运会在法国巴黎成功举办．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛．已知这道题中小王能答对其中道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元．假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立．
(ⅰ)记一名进入决赛的大学生恰好中奖次的概率为，求的极大值；
(ⅱ)大学数学系共有名大学生进入了决赛，若这名大学生获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围．
参考答案
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15.解：．
由正弦定理可得：，
，
可得：，
，
．
，，的面积为，
解得：，
由余弦定理可得：，
解得：，
的周长为．
16.解：当，，，
求导得，．
令，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
在处取得极大值，．
因此；
由题意知，方程在上有实根．
因为，所以方程可转化为．
设，则．
设，则．
当时，，所以在上单调递增．
所以，
于是，所以在上单调递增．
所以，即．
综上所述，实数的取值范围是．
17.证明：连接，交于，连接，
是的中点，：：：，
，：：，则．
平面，平面，
平面；
解：平面，，平面，
，，
为正方形，．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为．
由，取，得；
设平面的一个法向量为．
由，
取，得．
，，即二面角的大小为．
18.解：在椭圆上，，
又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，
，
解得，，
椭圆的方程为．
由可知，设，，，
则当时，，所以，
直线的方程为，即，
由得，
则，
，
，
又，
，
由，得，
，
，
当时，直线，
当时，．
19.解：的可能取值为，，，
则，
，
，
的分布列为
．
记事件小王已经答对一题，事件小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进人决赛的概率．
，
则，
令，解得或舍，
当时，，当时，，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当时，有极大值，且的极大值为．
由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，
则的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以
，
所以，即，
整理得
经观察可知是方程的根，
又为增函数，
所以由，得．
又，所以的取值范围为
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