河南省“天壹大联考·十所名校联考”2025届高三毕业班阶段性测试(三)数学试题（含答案）

河南省“天壹大联考·十所名校联考”2025届高三毕业班阶段性测试(三)数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，若，则的实部与虚部的比值为( )
A. B. C. D.
3.已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为( )
A. B. C. D.
4.函数在区间上( )
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减
5.放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，单位：天，若两种物质的初始质量相同，天后发现甲的质量是乙的质量的倍，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在时取得极小值，则的极大值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上有唯一极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，点在所在的平面内，满足，且，则( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则( )
A. 与有相同的最小正周期
B. 与有相同的最大值
C. 与的图象有相同的对称轴
D. 将的图象绕点旋转可得到的图象
10.如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上含端点，设，则( )
A. 的值不可能大于 B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11.已知数列满足，，且，则( )
A. B.
C. 当时， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，使得，则实数的取值范围为 ．
13.如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则 ．
14.已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且．
Ⅰ证明：是等差数列
Ⅱ求数列的前项和．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且．
Ⅰ求
Ⅱ若的外接圆半径为，周长为，且，求．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的图象在点处的切线方程
Ⅱ若在区间上单调递减，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的零点个数．
Ⅱ设，函数．
(ⅰ)判断的单调性
(ⅱ)若，求的最小值．
19.本小题分
设有穷数列的项数为，若为常数，且，，，，，，则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积．
Ⅰ若，，，，是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及，
Ⅱ若是公共积为的等积数列，且且，为常数，证明：当时，对任意给定的，，数列中一定存在相等的两项
Ⅲ若是公共积为的等积数列，且，是奇数，对任意的，，都存在正整数，使得，求证：是等比数列．
参考答案
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15.解：Ⅰ因为是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，即，
又，
所以是首项为，公差为的等差数列．
Ⅱ由Ⅰ知，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以．
16.解：因为，
所以．
因为为三角形内角，所以，所以，
又，所以．
Ⅱ由正弦定理可知，，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
又，所以，
所以，故A．
17.解：Ⅰ由题可知，
则，
又，
故的图象在点处的切线方程为
Ⅱ令，
则，．
当时，，，故在上存在零点，
记其中最小的零点为，则在上恒为正，在上单调递增，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，不符合题意．
当时，在上有，，，
故，在上单调递减，
即在上单调递减，则．
故在上单调递减，符合题意．
故的取值范围为
18.解：Ⅰ当时，，则，
令，可得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
．
又，，
有个不同的零点．
Ⅱ由题可知，则，
令，可得或，
当时，，当时，，
在上单调递增，在和上单调递减．
由，
可得，是关于的方程的两个不同的实根，
故，，即
故，
设，当时，，
为增函数，的最小值为，
故的最小值为
19.解：Ⅰ，，，，为等积数列，．
，，，
Ⅱ当时，
是公共积为的等积数列，，
又，．
又，，，即原命题得证．
Ⅲ设
，，，，是公共积为的等积数列，且，
，．
，
．
对任意的，，都存在正整数，使得，
，，，，，这项均为中的项．
由题可知，，
必有，，，，，
，，，，．
又，
，，，是公比为的等比数列．
，
，
是公比为的等比数列．
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