2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的极大值为( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则( )
A. B. C. D.
6.曲线与的交点中，与轴最近的点的横坐标为( )
A. B. C. D.
7.在 中，，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中，，是线段上靠近的三等分点，过点与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间中，设，，是三条直线，，，是三个平面，则下列能推出的是( )
A. ，
B. ，，
C. ，，，
D. ，，，
10.已知函数，则( )
A. 的最大值为 B. 是曲线的对称中心
C. 在上单调递减 D. 的最小正周期为
11.设为上的增函数，满足：，，则( )
A. B. 为奇函数
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的一个单调减区间为，则 ， ．
13.在平面直角坐标系中，曲线上的两点，满足，线段的中点在轴上，则点的横坐标为______．
14.已知圆的半径为，点，在圆上，点在圆内，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的内角，，的对边，且．
求；
若的面积为，周长为，试判断的形状．
16.本小题分
设抛物线：的焦点为，准线为，点在上，记在上的射影为．
能否为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由；
设在点处的切线与相交于点，证明：．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，是的中点，平面平面，且．
求点到平面的距离；
求平面与平面的夹角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，其中．
若曲线在点处的切线过原点，求；
当时，证明：；
若在上单调递增，求的取值范围．
19.本小题分
如果数列，，，，是首项为，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被整除，那么称数列，，，，是数列．
写出所有满足的数列；
证明：存在数列是等比数列，且有无穷个；
对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，
参考答案
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15.解：由已知及正弦定理，
可得，
又，所以，
则上式可化为，
又中，，则，
则上式可化为，即，
又，则，
故；
由，可得，
又由，可得，
则可化为，
整理得，
又由，则，
可化为，解得，
则由，解得，
则的形状为等边三角形．
16.解：能使为正三角形．
设，因为，那么．
又根据题意可得：的准线为：，焦点为，
那么在上的射影为要使三角形为正三角形，
那么应满足中点纵坐标为，且．
所以，所以当或时，
能使三角形为正三角形；
证明：根据题意可得满足．
又因为，
所以点处的切线斜率为：，所以相应切线为：．
代入，可将切线方程化简为：
设，可得又因为，，
所以，
解得，又因为，所以．

17.解：如图，作于点，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
在中，，
所以点到平面的距离为．
由，平面，平面，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又，，所以，
如图，以点为坐标原点，过点垂直于的为轴，，分别为，轴的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，则，，
所以，
又平面，且，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以．
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
18.解：函数的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
切点为，
由切线过原点，可得，
解得．
证明：若，则，
构建，
则，
令，则，
即恒成立，则在上单调递增，且，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以．
若在上单调递增，
当，则在上单调递增，符合题意；
当，则在上单调递增，符合题意；
当，由可知：，则在上恒成立，
设，则，
且，则，解得，
若，可知在上单调递增，
则，
可知在上单调递增，则，符合题意；
综上所述：的取值范围为．
19.解：由题可得，，
令，为使任意连续三项的和都能被整除，则或；
令，则；令，则不存在满足题意；
令，则．
综上，满足的数列为：，，，；，，，；，，，；，，，；
证明：设这样的数列对应的公比为，
则相应的四项，从小到大排列为，，，
要使任意连续三项的和都能被整除，
则，能被整除，即被整除即可．
考虑集合，当时，
一定能被整除，
因中的元素有无穷多个，
则存在数列是等比数列，且有无穷个；
设，，
因，都能被整除，，则．
若，因，都能被整除，则；
则要使能被整除，有．
令，为使最小，应让，，间的差值最小，
则，，，
又，则，即当时，最小值为，
若，因，都能被整除，则，
结合，则要使能被整除，有，
令，为使最小，应让，，间的差值最小，
则，，，
又，则，即当时，最小值为；
若，因，都能被整除，则；
结合，则要使能被整除，有，
令，，为使最小，应让，，间的差值最小，
则，，，
又，则，即当时，最小值为．
综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，整数的最小值是．
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