圆锥曲线 考点题型突破训练
本专题内容及题型考点，在高考中常以1-2道选填，1道解答题形式出现，分值20分或26分， A组练基础和B组练中档的题目建议重点掌握；C组练能力的题目，第二问开始综合性强，难度较大，建议基础差的同学适当放弃，平均分120+的同学可以训练突破。
【考点题型1】圆锥曲线定义、方程相关问题
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的
和是10；
（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。
2.已知双曲线E的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.一个焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
4.（多选）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是( )
A. B.点F的坐标为
C.直线AQ与抛物线相切 D.
5.（多选）已知双曲线，则C的( )
A.焦点在y轴上 B.焦距为3
C.离心率为 D.渐近线为
【考点题型2】圆锥曲线充要条件相关问题
6.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【变式1】如果方程表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数的取值范围。
7.方程表示双曲线，求实数m的取值范围。
8.若方程表示双曲线，则m的取值范围是________.
9.已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
10.当时，方程表示的轨迹可以是（ ）
A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【考点题型2】椭圆、双曲线离心率相关问题
11.已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线＋＝1的离心率是( )
A．2 B．
C. D．2或
12.双曲线的左 右焦点分别是，，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为_______________.
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，，则椭圆C的离心率为_____________.
14.已知椭圆和双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是 .
15.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P是椭圆上一点，|PF2|＝|F1F2|＝2c，若∠PF2F1∈，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B． C. D．
【考点题型3】椭圆、双曲线焦点三角形相关问题
16.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.
17.设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．已知椭圆C：＋＝1(0A．6 B．3 C．2 D.
19．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．离心率
C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切
【考点题型4】弦长相关问题
20.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当的面积为时，求k的值.
21.过椭圆内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
22.如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________．
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 (a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
【考点题型5】圆锥曲线最值相关问题
24．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
25．已知斜率为的直线与椭圆相交于两点，与轴，轴分别交于两点，若恰好是线段的两个三等分点，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【考点题型6】求轨迹、第一定义相关问题
26.已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值求动点的轨迹方程.
27.已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.
28.已知动点P与平面上点M(－1,0)，N(1,0)的距离之和等于2.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若经过点E的直线l与曲线C交于A，B两点，且点E为AB的中点，求直线l的方程．
【考点题型7】直线与圆锥曲线相关问题
29.已知为椭圆的左 右焦点，点为其上一点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若存在，使得，求的取值范围.
30.设双曲线：的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求直线方程；
（3）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，问、、、四点是否共圆？若共圆证之，若不共圆给予充分理由．
31.已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.
32.平面直角坐标系xOy中,已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设椭圆E：,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(ⅰ)求的值; (ⅱ)求△ABQ面积的最大值.
【考点题型8】圆与圆锥曲线相关问题
33.如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．
(
x
y
B
A
O
a
Ｃ
D
)
（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标的关系式
（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，求证：直线的斜率为定值．
34.已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．圆锥曲线 考点题型突破训练
本专题内容及题型考点，在高考中常以1-2道选填，1道解答题形式出现，分值20分或26分， A组练基础和B组练中档的题目建议重点掌握；C组练能力的题目，第二问开始综合性强，难度较大，建议基础差的同学适当放弃，平均分120+的同学可以训练突破。
【考点题型1】圆锥曲线定义、方程相关问题
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的
和是10；
（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。
【思路点拨】结合椭圆的标准方程，用待定系数法。
【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。
∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为；
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为
由椭圆的定义知，，
∴ 又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6 ∴所求椭圆的标准方程为。
【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。
2.已知双曲线E的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆的焦点在y轴上，其中，，，所以焦点坐标为和，双曲线的焦点为和，即，实轴长，则，
那么，所以双曲线E的渐近线方程为，即.故选：B.
3.一个焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
【答案】B
【解析】设所求双曲线方程为－＝t(t≠0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为－＝1.
故选：B.
4.（多选）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是( )
A. B.点F的坐标为
C.直线AQ与抛物线相切 D.
【答案】AC
【解析】将代入中可得，故，，A正确，B错误，
，则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，由于轴，所以不成立，故D错误，故选：AC
5.（多选）已知双曲线，则C的( )
A.焦点在y轴上 B.焦距为3
C.离心率为 D.渐近线为
【答案】AC
【解析】因为双曲线，所以C的标准方程为，
故焦点在y轴上，，，，故焦距为，离心率为，渐近线为，故A，C正确，B，D错误.
故选：AC
【考点题型2】圆锥曲线充要条件相关问题
6.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则
，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
【变式1】如果方程表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数的取值范围。
【解析】把整理为标准方程：
因为焦点在Y轴上，所以，解得
7.方程表示双曲线，求实数m的取值范围。
【解析】由题意得或或
。
∴实数m的取值范围为。
【总结升华】方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。
8.若方程表示双曲线，则m的取值范围是________.
【答案】(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
【解析】因为方程表示双曲线，
所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.
9.已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
10.当时，方程表示的轨迹可以是（ ）
A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】ACD
【解析】将分为三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.
当时，.方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆.
当时，，方程化为，表示两条直线.
当时，，.方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线.
所以曲线不可能表示圆. 故选ACD.
【考点题型2】椭圆、双曲线离心率相关问题
11.已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线＋＝1的离心率是( )
A．2 B．
C. D．2或
【答案】D
【解析】因为m是3与12的等比中项，所以m2＝3×12＝36，解得m＝±6.若m＝－6，则曲线的方程为－＝1，该曲线是双曲线，其离心率e＝＝2；若m＝6，则曲线的方程为＋＝1，该曲线是椭圆，其离心率e＝＝.综上，所求离心率是2或.
12.双曲线的左 右焦点分别是，，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为_______________.
【答案】
【解析】 为正三角形，，又，
，，，，（舍去），故答案为：.
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，，则椭圆C的离心率为_____________.
【答案】
【解析】由题意知，，，所以，即，又，即，
所以，
故答案为：.
14.已知椭圆和双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围．
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，
由于是以为底边的等腰三角形，，则，，
令椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴为，
由椭圆的定义得，由双曲线定义得，
则，，相减得，即，得，
因此，，显然在上单调递增，
于是，所以的取值范围是．
故答案为：
15.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P是椭圆上一点，|PF2|＝|F1F2|＝2c，若∠PF2F1∈，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B． C. D．
【答案】D
【解析】根据题意有|PF1|＝2a－2c，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则cos∠PF2F1＝＝＝＋＝＋－2，因为∠PF2F1∈，所以cos∠PF2F1∈，所以－1＜＋－2＜，又e＞0，所以
2＜＜3 ＜e＜，
故选D.
【考点题型3】椭圆、双曲线焦点三角形相关问题
16.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.
【答案】（1）椭圆方程为，双曲线方程为
（2）
【解析】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，
则，解得
∵,∴ , .
故所求椭圆方程为，双曲线方程为.
（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.
由椭圆、双曲线的定义有:
解得
由余弦定理有.
17.设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依据双曲线的定义有，
由得、，
又，则，即，
所以，
故选B.
18．已知椭圆C：＋＝1(0A．6 B．3 C．2 D.
【答案】C
【解析】设椭圆＋＝1(0设F1关于∠F1PF2的平分线的对称点为Q，
由椭圆的对称性及角平分线性质可知P，F2，Q三点共线且|PQ|＝|PF1|，
又因为∠F1PF2＝60°，所以△PQF1是等边三角形，
设|PF1|＝|QF1|＝|PQ|＝m，
由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|QF1|＋|QF2|＝6，
又|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
所以|PQ|＝12－|PF1|－|QF1|＝12－2m，
所以m＝4，即|PF1|＝4，|PF2|＝2，
所以△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×4×2×＝2.
19．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．离心率
C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【解析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.
对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.
对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.
对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.
对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.
综上所述，正确的为AD.
故选：AD
【考点题型4】弦长相关问题
20.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当的面积为时，求k的值.
【答案】（1）； （2）1或-1.
【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.
（2）由得.
设点M，N的坐标分别为，，则，，，，.所以.
由因为点到直线的距离，所以的面积为.由，解得，经检验，所以.
21.过椭圆内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
【答案】B
【解析】设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故，，两式相减得＝0.
∵P(3,1)是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，故kAB＝，
直线AB的方程为y－1＝－ (x－3)，
即3x＋4y－13＝0，
故选B.
22.如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________．
【答案】
【解析】设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.
因为k≠0，所以－＜xG＜0，
所以点G横坐标的取值范围为.
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 (a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
【解析】(1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝ |x1－x2|
＝·＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
【考点题型5】圆锥曲线最值相关问题
24．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
【解析】由题设，故，
又，则，
由余弦定理知：，
所以，而，
因为的内切圆的半径，故，
所以，则，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
故选：B
25．已知斜率为的直线与椭圆相交于两点，与轴，轴分别交于两点，若恰好是线段的两个三等分点，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得，结合求得的范围．
【解析】解：如图，设．
∵分别是线段的两个三等分点，
∴ ，，
则， 得，
，
利用点差法，由两式相减得
，
整理得到，
即，得，得，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 或，
故的值不可能为．
故选：D．
【点睛】本题解题的难点是求得，掌握点差法及理解并非只有弦中点时才考虑使用，进而累积解题经验．
【考点题型6】求轨迹、第一定义相关问题
26.已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值求动点的轨迹方程.
【分析】充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视
解法一：【解析】设动点,且,
则、边上两中点、的坐标分别为,.
∵,
∴,
即.
从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，
故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.
∴动点的轨迹方程是 ().
解法二：【解析】设的重心 ，,动点,且，
则.
∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.
其方程为().
又, 代入上式，得()为所求.
【总结升华】求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.
27.已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【答案】
【解析】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，
由两圆外切的条件可得：，.
∴.
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，
故所求轨迹方程为.
28.已知动点P与平面上点M(－1,0)，N(1,0)的距离之和等于2.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若经过点E的直线l与曲线C交于A，B两点，且点E为AB的中点，求直线l的方程．
【解析】(1)根据题意可知，动点P与平面上点M(－1,0)，N(1,0)的距离之和等于2.
又2>|MN|＝2，则点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，则b＝＝1，
故动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
由①－②可得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
又由点E是AB的中点，
则有x1＋x2＝2且y1＋y2＝1，
则有2(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，
变形可得kl＝＝－1，
则直线l的方程为y－＝－(x－1)，
变形可得x＋y－＝0，
故直线l的方程为x＋y－＝0.
【考点题型7】直线与圆锥曲线相关问题
29.已知为椭圆的左 右焦点，点为其上一点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设，由可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，
因为点为椭圆上一点，且，所以，
解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）
设又，
由得，，
联立可得
，
即，，且，
又，则，
，，
代入得，
，解得. 的取值范围是.
30.设双曲线：的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求直线方程；
（3）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，问、、、四点是否共圆？若共圆证之，若不共圆给予充分理由．
【答案】(1) (2)
(3)共圆，证明过程见解析
【分析】（1）利用离心率定义以及双曲线中的关系式即可求得双曲线方程；
（2）设出，直线方程为，联立方程，再结合中点坐标即可求得直线的方程；
（3）假设、、、四点共圆，且圆心为，只需证的中点满足即可得到、、、四点共圆.
【解析】（1）由题知，，
又，则，
所以，
则双曲线的方程为.
（2）设，
直线方程为，
联立得，
又的中点为，
所以，
即，解得，此时满足，
故直线方程为.
（3）假设、、、四点共圆，且圆心为，
为圆的弦，圆心在垂直平分线上，
又为圆的弦且垂直平分，圆心为中点，
下面只需证的中点满足即可.
由，得，，
由（1）得直线方程为，
由，得，
的中点，
，,
，，
，
即、、、四点在以为圆心，为半径的圆上.
31.已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用距离公式结合已知条件化简可得出曲线的方程；
（2）设，则，设点、、，利用向量的坐标运算可得出，，结合平方差公式以及双曲线的方程计算出，即可证得结论成立.
【解析】（1）解：由题意可得，整理可得.
所以，曲线的方程为.
（2）证明：如下图所示：
因为，设，则，
设点、、，
由可得，
即，所以，，
由可得，
即，所以，，
所以， ，，
所以，，即，
所以，点在定直线上.
【点睛】方法点睛：本题使用向量方法得到若干方程后，将这些方程进行整体处理，已达到消元的目的，这个方法比联立方程的计算量要小，不失为一中巧妙的方法.
32.平面直角坐标系xOy中,已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设椭圆E：,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(ⅰ)求的值; (ⅱ)求△ABQ面积的最大值.
【分析】(1)由离心率e和2a=r1+r2可求a,b,c.
(2)将直线y=kx+m与椭圆E和椭圆C联立消y,再根据二次方程根与系数的关系求解面积的最大值.
【解析】(1)因为两圆的公共点在椭圆C上,所以2a=3+1=4,a=2.
又因为椭圆C的离心率为,所以
即椭圆C的方程为..
(2)(ⅰ) 椭圆E：.
设是椭圆C上任意一点，则.直线：与椭圆E：联立消得，所以.即.
(ⅱ) 因为点在直线上，所以，点到直线的距离为.
将与联立消得，由可得. ①
设，则，所以.
直线y=kx+m与y轴交点为(0,m),所以△OAB面积
，令，则.
将与联立消得，由可得. ②
由①②可知，因此（当且仅当即时取得最大值），注意到，
所以.即的面积的最大值为.
【考点题型8】圆与圆锥曲线相关问题
33.如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．
(
x
y
B
A
O
a
Ｃ
D
)
（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标的关系式
（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，求证：直线的斜率为定值．
【解析】（Ⅰ）由题意知，．
(
x
y
B
A
O
a
Ｃ
D
)
因为，所以．
由于，故有． （1）
由点的坐标知，直线的方程为．
又因点在直线上，故有，
将（1）代入上式，得， 解得．
（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为
．
所以直线的斜率为定值．
34.已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
【解析】（I）法一：设两点坐标分别为，，
由题设知．
解得，
所以，或，．
设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为
．
法二：设两点坐标分别为，，
由题设知．
又因为，，可得．
即．
由，，可知，
故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．
设点的坐标为，则点坐标为，
于是有，解得，
所以圆的方程为．
（II）设，则．
在中，，
由圆的几何性质得，，
所以，由此可得
．
则的最大值为，最小值为．
