2024-2025学年北京市东城区第五中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区第五中学高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则集合可以是( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线平行，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3.设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，设，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线交准线于，若，则( )
A. B. C. D.
7.中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如下图所示的“曲池”，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的倍，且线段，则该“曲池”的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围( )
A. B. C. D.
9.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间天满足的函数解析式为若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为 结果保留一位小数，
A. B. C. D.
10.已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数的共轭复数 ．
12.已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图象都过、点，则椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ．
13.在中，，点在边上，，则 ；的面积为 ．
14.已知函数，，，其中表示，中最大的数．若，则 ；若对恒成立，则的取值范围是 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
过点存在条直线与曲线相切；
过点存在条直线与曲线相切；
过点存在条直线与曲线相切；
过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点．
求证：；
求点到平面的距离；
求二面角的余弦值．
17.设过点，且一个周期的图象原点，最高点，最低点如图所示：

求，；
再从以下三个条件中任选其一，使函数唯一确定，并求的单调递增区间．
条件：；
条件：；
条件：．
18.自北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作，，，的“基础分”如表所示．
跳跃动作
基础分
表
选手表演完，得到相应动作的“执行分”把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”表为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”．



表
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立．
从该选手上一赛季所有动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
若该选手在本赛季中，计划完成，，这三个动作，且每个动作只完成一次将这三个动作中成功的跳跃个数记为，求的分布列和数学期望；
在本赛季中，从四个跳跃动作，，，中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称．
19.已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
当且时，判断与的大小，并说明理由．
20.设椭圆，且离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆中心时，．
求椭圆的方程；
已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率．
21.设正整数数列满足．
若，请写出所有可能的取值；
记集合，且不是的倍数，求证：；
存在常数，对于都有，求所有可能的取值．
参考答案
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16.在中，因为，，，
所以．
在直三棱柱中，
所以平面所以．
又因为，所以平面．
所以．
由可知，平面，所以，．
又，如图，建立空间直角坐标系，则，，．
设是平面的一个法向量．
由得解得
令，则．
设点到平面的距离为因为，
所以．
所以点到平面的距离为．
因为平面．
所以平面的一个法向量是．
设二面角的夹角为．
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

17.，
由图象可知，，所以，
因为过，
所以，所以，
又，解得，
综上所述，，．
选择条件：
因为，
所以，
故，
令，，
有，，
所以单调递增区间为，；
选择条件：
因为，
所以，所以，
由，解得，
故，
令，，
有，，
所以单调递增区间为，；
选择条件：
因为，
由，解得，
故，
令，，
有，，
所以单调递增区间为，．

18.根据题中数据，该选手上一赛季个动作中，有个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为
同，从该选手上一赛季所有，动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为，
的所有可能取值为，，，．
所以随机变量的分布列为：
所以
由表格可知，动作成功的概率为，失败的概率为，
动作成功的概率为，失败的概率为，
动作成功的概率为，失败的概率为，
动作成功的概率为，失败的概率为，
由可知，选，，．

19.当时，；；
而，；
故曲线在点处的切线方程为，即．
的定义域为，且；令，得．
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递减 单调递减 极小值 单调递增
所以的单调递增区间为；单调递减区间为和；
当且时，，证明如下：
令，则．
设，则．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
从而，即，
所以的单调递增区间为和．
当时，，即；
当时，，即．
综上，当且时，．

20.当直线经过椭圆中心时，，得，
又，所以，得，
所以；
当直线的方程为时，显然，；
直线的方程为，所以；
直线的方程为，所以；
此时点与点重合，点与点重合，易知；
设直线，，
，即，即或，；
，；
，；
直线，直线
令，，
令，，
则
即
也即
则，，斜率为；
综上，直线的斜率为或．

21.，，，，，
，，，，，
，，，，，
所以所有可能的取值：，，
设数列中最小数为，
当为偶数时，与是最小值矛盾
当为奇数时，是偶数，
或或．
当时，也是的倍数，为偶数是；为奇数时，为也是的倍数，以此类推，也是的倍数，与不是的倍数矛盾．
当时，，，，，矛盾，
，即成立．
由第问可知，中最小数只能是或．
当时，后面的项为，，，，，
当时，后面的项为，，，
所以数列为周期数列时，只能是，，，，，，，
所以

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