2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（五）（含答案）

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（五）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则的图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，，则及的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5.数列是递增的等差数列，前项和为，满足，则下列选项不正确的是( )
A. B.
C. 当时，最小 D. 时，的最小值为
6.设各项均不相等的等比数列的前项和为，若，则公比( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.四张卡片的正面分别写上，，，，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知展开式中的常数项是，则实数的值为______．
11.复数为纯虚数，则______．
12.已知，，则 ______用，表示
13.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______．
14.毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究如图，图形中的圆点数分别为，，，，，以此类推，第个图形对应的圆点数为______；若这些数构成数列，则 ______．
15.若方程在区间内有两个不等的实根，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知中的内角，，所对的边分别为，，，且，，，的面积是．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，满足．
求数列的通项公式；
若，设是数列的前项和，求证．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点．
求的方程．
过点且不与轴重合的动直线与相交于，两点，的中点为．
证明：直线与的斜率之积为定值；
当的面积最大时，求直线的方程．
20.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若在上单调递增，求正实数的取值范围；
时，证明：．
参考答案
1.
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16.解：Ⅰ在中，由，，的面积是，
可知，
得到，
因为，可得，
由已知及余弦定理，有，
所以；
Ⅱ因为，，，
由正弦定理，得；
Ⅲ由Ⅱ及，得，
所以，，
故．
17.解：由，得，
当时，，解得，
当时，有，
两式作差可得，即，
，，
又，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
可得，即．
证明：由知，
则，得，
，
则，
两式相减得：，
故．
18.证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
解：，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又平面，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
为棱的中点，
，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
由知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是，
，．
19.解：由已知，得解得
故E的方程为．
证明：由题可设：，，
联立，消去得．
当，即时，有．
所以，即，
所有，所以，
即直线与的斜率之积为定值．
由可知
，
又点到直线的距离，
所以的面积．
设，则，
，，
当且仅当，即时等号成立，且满足．
所以当的面积最大时，直线的方程为或．
20.由题意可得，，
记，则，且等号不同时成立，
在上单调递增，且，
时，；时，，
的单调递减区间是，单调递增区间是；
若在上单调递增，则恒成立，
设，则，
当时，，令，
时，，
在上单调递增，由得，
，又，
在上存在唯一解，记为，
时，，即，在上单调递减，
，即，不符合题意；
当时，，且当时，，，
在上单调递增，符合题意；
综上，；
证明：，时，，
，
故，
，
即．
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