2024-2025学年江苏省南通市启东、通州联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市启东、通州联考高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.从名男生和名女生中选出人参加一项创新大赛如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
6.一个正四棱台油槽可以装汽油，若它的上、下底面边长分别为和，则它的深度为( )
A. B. C. D.
7.当时，函数与的图象有个交点，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 的系数为 B. 第项的二项式系数为
C. 没有常数项 D. 各项系数的和为
10.在长方体中，，，点是底面上的一点，且平面，则( )
A. B. 平面
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.如图，函数的部分图象，则( )
A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果随机变量，且，那么 ______．
13.如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接平行四边形，使点在上，点在上，则该平行四边形面积的最大值为______．
14.已知函数，若，，则正整数的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
若函数的图象关于点对称，求的值．
16.本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且满足．
求；
若四边形内接于圆，，，求面积的最大值．
17.本小题分
银行储蓄卡的密码由位数字组成小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了的前个数字设置个人银行储蓄卡密码．
求密码中两个不相邻的概率；
若密码的前三位出现的次数为，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，．
求证：；
求与平面所成角的正弦值；
若线段上存在一点，使得截面将四棱锥分成体积之比为：的上下两部分，求点到截面的距离．
19.本小题分
已知函数及其导函数的定义域都为，设直线：是曲线的任意一条切线，切点横坐标为，若，当且仅当时“”成立，则称函数满足“性质”．
判断是否满足“性质”，并说明理由；
若是单调增函数，证明：满足“性质”；
若函数满足“性质”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值；
当时，取得极小值，极小值；
因为函数的图象关于点对称，
所以，
因为，
整理得，
因为，
所以．
解得．
16.解：因为，
由正弦定理可得，
又因为在中，所以，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以；
在中，已知，所以，
由余弦定理可得：，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为．
17.解：总的情形有种，两个不相邻的情形有种，
两个不相邻的概率；
由题意可知，的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列如下：
．
18.解：取的中点，连，，由，，
得四边形为平行四边形，
由，得平行四边形为矩形，
则，由平面平面，平面平面，平面，
得平面，又平面，
则，
由，，得，
由，，得，
则，即，
而，，，平面，
因此平面，而平面，
所以．
由，，，，平面，
得平面，平面，
则，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
令，得，
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．
设截面交于，由，面，面，
得平面，
又平面，平面平面，
则，
依题意，，
则，
设，则，
，，，
，，，，，
到的距离，
截面的面积为，
设平面的法向量，
则，
取，得，
则到平面的距离，
于是，
解得，
所以点到截面的距离为．
19.解：满足“性质”，理由如下：因为，设曲线的一条切线的切点为，
则直线的方程为，即；
所以，当且仅当时取等号；
由的任意性知，满足“性质”；
证明：设直线是曲线的任意一条切线，切点为，
则直线的方程为，
因为是单调增函数，则当时，，
单调递减，；
当时，，单调递增，；
即对任意，都有，
由的任意性知，满足“性质”；当时，因为，设，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
由知，函数满足“性质”；
下面证明当时，函数不满足“性质”，
方法一、设直线与曲线且于点，
则直线的方程为，
设，根据“性质”的定义知，
要证不满足“性质”，只要证明存在，
因为，
设，则，
设，则单调递增，且，
所以当时，，单调递增；
因为，，
所以存在，使得，且当时，，
取，则当时，，单调递减，即单调递减；
此时，在上单调递减，所以，
所以当时，函数不满足“性质”．
综上，实数的取值范围是．
方法二、考虑曲线在处的切线为，，
的导函数为，且在上单调递增，，
，所以存在，使得，
所以时，，单调递减；又，所以时，，
所以不恒成立；所以当时，函数不满足“性质”．
综上，实数的取值范围是．
第1页，共1页