2024-2025学年天津四十七中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津四十七中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，或，那么集合等于( )
A. B. 或
C. D.
2.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列说法错误的是( )
A. 在回归直线方程中，与具有负线性相关关系
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于
C. 回归直线方程，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位
D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小
4.函数的图象可能为( )
A. B. C. D.
5.已知偶函数在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.设等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数在上有个零点，则实数的取值范围为
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数在复平面内对应点是，为虚数单位，则______．
11.已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 ．
12.在的展开式中，的系数为______结果用数值表示
13.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是，和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为______．
14.如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为 ．
15.若方程有且仅有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，在五面体中，四边形为正方形，平面，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为．
求椭圆方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程．
19.本小题分
已知数列，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
Ⅰ求数列和的通项公式．
Ⅱ记，求数列的前项和．
Ⅲ求．
20.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在上有零点．
求实数的取值范围；
设函数，记在上的最小值为，求的最大值．
参考答案
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16.解因为，，，
由余弦定理可得，
解得：；
，，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
因为，，
所以，，
，可得，
所以，
所以的值为．
17.证明：如图，在上取点，使，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面；
解：因为平面，、平面，
所以，，
又因为四边形为正方形，所以，
所以、、两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
解：，，
设平面的一个法向量为，
，
令，可得，
由知平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角的平面角为，
，．
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
18.解：由题意可得，，解得，
由，，则椭圆的方程为．
当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；
当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，
联立，消去可得，
，
所以，，
，
设的中点为，则，设，
由为等边三角形，，，
，
，
所以，解得，所以，
当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，
所以，，不满足题意，
综上所述，直线的方程为或．
19.解：Ⅰ对于任意，都有，
可得时，，解得，
时，，又，
可得，
即为，
所以；
数列是等差数列，设公差为，
，
由，，成等比数列，可得，
即为，解得，
则；
Ⅱ，
当为偶数时，
；
为奇数时，．
所以；
Ⅲ，
由，
设，
，
两式相减可得
，
化简可得，
所以．
20.解：当，，，
，，
曲线在点处的切线方程为，即；
，．
，，，，
当时，，无零点，舍去．
当时，，在上单调递增，
此时，由，
得．
实数的取值范围为；
，
，
，，，
在上单调递增，
由知，在上有唯一零点，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值为．
，，
．
设，，
，
单调递减，，
即的最大值为．
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