2023-2024学年河南省周口恒大中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省周口恒大中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知是虚数单位，复数满足，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. D. 在复平面对应的点在第二象限
5.已知随机变量满足，，则下列说法正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.函数且的图象必经过点( )
A. B. C. D.
7.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，则( )
A. 在区间内有零点，在内无零点
B. 在区间，内均有零点
C. 在区间，内均无零点
D. 在区间，内均有零点
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，：，，，则以下说法正确的是( )
A. 最小值为
B. 两曲线有且仅有条公切线，记两条公切线斜率分别为，，则
C. 当轴时，
D.
10.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是( )
A. 与表示同一函数
B. 函数的定义域是
C. 已知函数，则在区间的值域为
D. 如图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像
11.下列说法正确的是( )
A. 数列，，，的首项是
B. 若数列的首项为，则从第项起，各项均不等于
C. 数列，，，，，，，是无穷数列
D. ，，，，，，一定能构成数列
12.下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，为坐标原点，则的面积等于______．
14.若，，则______．
15.正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于______．
16.设全集，集合，集合，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设复数，求的模和辐角的主值．
18.本小题分
已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；
解不等式．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；
Ⅱ设，且，时函数的最小值为，求的最小值．
20.本小题分
设，已知函数的表达式为．
当时，求不等式的解集；
若关于的方程在区间上恰有一个解，求的取值范围；
设若存在，使得函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数，．
求函数的图象在点处切线的方程；
若对任意的，，都有成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”已知数列为无穷数列．
若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由；
若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”；
若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式．
参考答案
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17.解：
．
复数的模为，辐角的主值为．
18.解：由题意可知，即，
解得，
所以，经检验满足奇函数，
设，
则，
，
，且，则，
，即，
函数在上是增函数；
，，
又是定义在上的增函数，
，解得，
解集为．
19.解：原不等式可化为，
所以，，
解得，又再根据不等式的解集为，可得，
故，
即：，
，当且仅当取等号，
所以求的最小值为．
20.解：当时，，，
即，，，与同解，
得；
由题意：关于的方程在区间上恰有一个实数解，
则，
在区间上恰有一个实数解，
即，解得：，且，即，
故的取值范围为
由题：，，函数在区间上单调递减，
最大值和最小值的差不超过，即，，
，
即存在使成立，只需即可，
考虑函数，，，，
令，，
根据对勾函数性质在单调递减，
所以在，单调递减，
故，即，
所以．
21.解：，
，
又，
所以的图象在处的切线方程为，即．
若对任意，都有，
只需要对任意，都有，
，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，恒成立，
等价于恒成立，
记，所以，
，可知，
当时，，，则，
在上单调递增
当时，，，则，
在上单调递减，
故当时，函数在区间上取得最大值，
所以，故的取值范围为．
22.解：数列具有“性质”．
事实上，设数列的公比为，则，．
对任意正整数，，，，
，．
数列具有“性质”；
证明：由已知，
若，则，，
不存在正整数，使得；
若，则当时，，，
不存在正整数，使得．
综上，当时，数列不具有“性质”；
解：设数列的公差为，则．
由已知，对任意，都存在正整数，使得，
即，
，且，
对任意，设，
，，
，得，
因此，
由知，又由、可得或．
当时，，，不满足要求．
，．
验证满足要求，
故．
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