(共19张PPT)
2.1.2 课时1
椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.能利用椭圆的几何性质解决相关问题.
思考：由椭圆C的标准方程 和图象可以获得椭圆的哪些简单几何性质呢？
问题1：观察椭圆 的方程及形状，思考它的范围是怎样的？
x
这说明椭圆C位于四条直线：x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形区域内（如图）.因此，经常以该矩形为参照来画椭圆的图形.
y=b
y=-b
x=a
x=-a
即-a≤x≤a,-b≤y≤b.
O
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
问题2：前面已经分析了椭圆的对称性，请通过椭圆方程用代数方法来检验.
F1
F2
x
O
y
P（x，y）
P2（-x，y）
①P(x,y) P1(x,-y)
x轴
方程不变，点在椭圆上
P1（x，-y）
方程不变，点在椭圆上
②P(x,y) P2(-x,y)
y轴
③P(x,y) P3(-x,-y)
原点
F1
F2
x
O
y
P1（-x，y）
方程不变，点在椭圆上
P（x，y）
P2（x，-y）
P3（-x，-y）
这说明椭圆 既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.
这个中心称为椭圆的中心.
问题3：椭圆 上哪些点比较特殊？如何得到这些点的坐标？
椭圆与y轴的交点:令 x=0,得y =±b，
F1
F2
x
O
y
B1(0, -b)， B2(0, b)
椭圆与x轴的交点:令 y=0,得x =±a，
A1(-a, 0)， A2(a, 0)
椭圆的顶点
A1
A2
B1
B2
短轴
长轴
2a
2b
a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长.它们反映了参数a，b的几何意义.
F1
F2
x
O
y
A1
A2
B1
B2
由于b2=a2-c2，a，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义.
保持长半轴长a不变,改变椭圆的半焦距c,可以发现,c越接近a,椭圆越扁平.
问题4：扁平程度是椭圆的重要形状特征，如何用一个适当的量刻画椭圆的扁平程度？
x
y
O
类似地,保持c不变,改变a的大小,则a越接近c,椭圆越扁平;而当a,c扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变.
椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率.
用e表示，即
因为a＞c＞0，所以0＜e＜1.
当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆.
e 越接近 1，c 就越接近 a，
此时椭圆就越扁.
e 越接近 0，c 就越接近 0，
此时椭圆就越圆.
x
y
O
归纳总结
标准方程
范围
对称性 顶点坐标
焦点坐标
半轴长 离心率 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(±a,0)、(0,±b)
(±c,0)
(±b,0)、(0,±a)
(0 ,±c)
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
长半轴长为a,短半轴长为b.(a＞b)
注意：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
想一想：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁平程度.
例1：求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.
解：把原方程化成标准方程，得
于是
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是
两个焦点坐标分别 F1(-4,0)和F2(4,0)，
离心率
四个顶点坐标分别是
将方程变形为
用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图).
∴在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y)，如表(y的值精确到0.1).
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
由
例1：求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.
例2：已知椭圆C1： ，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
解：(1)根据C1方程可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(-6,0)，离心率
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
⑤离心率：
(2)椭圆C2： ，几何性质如下：
①范围：-8≤x≤8，-10≤y≤10；
④焦点：(0,6)，(0,-6)，焦距为12；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0,-10)，短轴端点(-8,0)，(8,0)；
②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；
1.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为 .
2.已知椭圆 ， ，则( @32@ )
A.椭圆 与 的顶点相同 B.椭圆 与 的长轴长相同
C.椭圆 与 的短轴长相同 D.椭圆 与 的焦距相等
3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
D
D
根据今天所学，回答下列问题：
1.椭圆有哪些几何性质？
2.椭圆的扁平程度和离心率的大小有着怎样的关系？(共18张PPT)
2.1.2 课时2
求椭圆的轨迹方程
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a, b, c的关系
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0), (-a,0), (0,b), (0,-b)
(c,0), (-c,0)
长半轴长为a, 短半轴长为b
a2=b2+c2
(b,0), (-b,0), (0,a), (0,-a)
(0,c), (0, -c)
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
长半轴长为a,短半轴长为b
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
a2=b2+c2
1.掌握求解椭圆方程的方法.
2.会利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题.
3.了解代入法求解轨迹方程的方法.
例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点P(-6,0)和Q(0,8).
(2)椭圆过点，离心率；
(3)经过点 ，且与椭圆 有相同的离心率.
由椭圆的几何性质可得，b=6，a=8，
∴椭圆的标准方程为
解：(1)短轴、长轴分别在x轴和y轴上，设椭圆的标准方程为
(2)椭圆过点，离心率；
（2）若焦点在 轴上，则 ，
， ， ，
∴椭圆的标准方程为 .
若焦点在 轴上，则 ，
，解得 ，
∴椭圆的标准方程为 ，
∴所求椭圆的标准方程为 或 .
(3)经过点 ，且与椭圆 有相同的离心率.
（3）（法一）由题意知 ，所以 ，即 ，
设所求椭圆的方程为 或 .
将点 的坐标代入椭圆方程得 或 ，
解得 或 .
故所求椭圆的标准方程为 或 .
（法二）设所求椭圆的方程为 或 ，
将点 的坐标代入可得 或 ，解得 ， ，
故所求椭圆的标准方程为 或 .
(3)经过点 ，且与椭圆 有相同的离心率.
归纳总结
1.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
归纳总结
2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
例2:我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 ）的中心 为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点） 到火星表面的距离为 ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点） 到火星表面的距离为 .假定探测器由近火星点 第一次逆时针运行到与轨道中心 的距离为 时进行变轨，其中 ， 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到 ）.
解：以 为坐标原点， 为 轴建立平面直角坐标系，
设所求轨道方程为 ，
由题意得
解得
于是 ,
故所求轨道方程为 .
设变轨时，探测器位于 ，
则 ， .
解得 .
所以探测器在变轨时与火星表面的距离为 .
所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为 .
解决与椭圆有关的实际问题时，首先建立合适的坐标系，再设出点的坐标，然后结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题.
归纳总结
例3:点B是椭圆＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，
则由M为线段AB的中点可得，解得，
即点B的坐标可表示为(2x－2a，2y).
∴，
整理可得动点M的轨迹方程为.
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简方程得所求方程.
相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
归纳总结
1.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为（ ）
A
2.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为 .
3.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为 cm.
20
＝1
根据今天所学，回答下列问题：
1.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤.
2.解决和椭圆有关的实际问题的思路是什么？
3.相关点代入法求轨迹方程的一般步骤.
