(共16张PPT)
2.2.2 课时1
双曲线的简单性质
1.理解并掌握双曲线范围、对称性和顶点的几何性质.
2.能利用双曲线的简单性质求标准方程.
1.双曲线的标准方程是什么？
2.类比椭圆的几何性质，应研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？
F1
F2
x
O
y
问题1：如何用方程(代数方法)研究曲线 中x的范围？
范围： x≤-a或x≥a，且y∈R.
因此，双曲线C在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x=-a和x=a外侧的区域.
-a
a
∴x≤-a或x≥a，且y∈R.
①P(x,y) P1(x,-y)
x轴
方程不变，点在双曲线上
问题2：请观察双曲线方程 图象说明双曲线的对称性.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
方程不变，点在双曲线上
②P(x,y) P2(-x,y)
y轴
③P(x,y) P3(-x,-y)
原点
方程不变，点在双曲线上
综上，双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.这个对称中心称为双曲线的中心.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
F1
F2
x
O
y
在
中，令y=0，得x=±a，
A1
A2
B1
B2
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；
双曲线和x轴有两个交点
双曲线的顶点
实轴
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
虚轴
归纳总结
方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
例1:求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线.
解：将x2-4y2=1化为标准方程
∴实半轴长a=1，虚半轴长b= ，半焦距
∴焦点坐标为
中心坐标为
顶点坐标为
实轴长为2，虚轴长为1.
根据双曲线的对称性，先画双曲线位于第一象限的部分.为此，由双曲线的方程解得
计算出一些点，如表(y的值精确到0.01).
x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97
在平面直角坐标系中描出上述对应点，并用光滑曲线连起来.根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分(如图).
归纳总结
利用双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤
(1)先把双曲线方程化为标准形式.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
注意:求性质时一定要注意焦点的位置.
例2 外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示，已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.求最小直径圆面的面积.
解：如图，由题意设＝1，
则A(40，－80)，B(20，10)在双曲线上，
所以，解得，
又最小直径的圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面，
所以此时圆面的面积为πa2＝π.
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围.
归纳总结
1.双曲线＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A.6 B.8 C.9 D.10
2.已知双曲线，则该双曲线的实轴长为( @10@ )
A. B. C. D.
3.实轴长等于虚轴长的双曲线叫作等轴双曲线.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
B
B
A
方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)(共17张PPT)
2.2.2 课时2
双曲线的离心率与渐近线
1.理解并掌握双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
2.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法
∵c＞a＞0，
我们把 叫作双曲线 的离心率，用e表示.
问题1： 决定双曲线的开口大小， 越大，双曲线的开口就越大，你知道这是为什么吗？
∴ 越大，e也越大，从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.
思考交流：观察图中双曲线x2-4y2=1在第一象限的图形，可发现如下情形：随着x的增大，y随之增大，当x比较大时，该图形逼近于直线y=x，且总在
该直线的下方.双曲线的这种特征，能否从它在第一象限的方程
y=(x≥1)和直线方程y=x的联系中给出解释呢？
双曲线x2-4y2=1上的点P(x,y)在第一象限时，
当 时， 且无限逼近于1，y无限逼近于
也就是说，当 时，双曲线在第一象限内的点P(x,y)无限逼近于直线
因此，形象地称直线 为双曲线x2-4y2=1的渐近线，
根据双曲线的对称性可知 也是双曲线x2-4y2=1的渐近线.
一般地，对于双曲线
当双曲线上的点P(x,y)在第一象限时，有
当 时， 且无限逼近于1，
∴点P(x,y)在直线 的下方，且y无限逼近于
即当 时，点P(x,y)无限逼近于直线
归纳总结
由双曲线的对称性可知，双曲线的两支在向外无限延伸时与直线 和 无限逼近.
一般地，直线 和 称为双曲线 的渐近线.
方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
离心率
渐近线
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
例1:求双曲线9x2-16y2=-144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线.
解：把双曲线的方程9x2-16y2=-144化为标准方程
∴实轴长2a=6，虚轴长2b=8；
焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；
渐近线方程：
顶点坐标为(0，-3)，(0，3)；
如图，首先画出x=±4，y=±3，作出矩形；
x
y
O
A1
A2
B2
B1
最后以渐近线为参照画出双曲线.
然后作出矩形的对角线，得到渐近线
例2:若双曲线 的一条渐近线经过点 ，求此双曲线的离心率.
解：由题意知 ，则 ，
所以
例3:已知点A，B分别为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求双曲线E的离心率.
解：设双曲线方程为 ，
不妨设点M在双曲线的右支上，如图，
则，，
作MH轴于点，则，，，
所以点M .
将点M 的坐标代入双曲线方程 ，得a=b，所以e .
归纳总结
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知 ， ，则可直接利用 求解，若已知 ， ，则可利用 求解.
（2）方程法：若无法求出 ， ， 的具体值，但根据条件可确定 ， ， 之间的关系，则可通过 ，将关系式转化为关于 ， 的齐次方程，借助于 ，转化为关于 的 次方程求解.
例4:分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线且过点M(2，-2).
解：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)或＝1(a>0，b>0)，
依题意可得2b=12，e==，
∵c2=a2+b2，∴a=8，b=6，c=10，
∴所求双曲线方程为＝1或＝1.
(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线且过点M(2，-2).
(2)当焦点在x轴上时，∵=，a=3，∴b=，∴所求双曲线方程为＝1
当焦点在y轴上时，∵=，a=3，∴b=2，
∴所求双曲线方程为＝1.
(3)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k(k≠0)，
将点M(2，-2)代入得k=-2，
则所求双曲线的标准方程为＝1.
归纳总结
巧设双曲线方程的四种方法与技巧
(1)已知焦点在x轴上的双曲线方程可设为＝1.
(2)已知焦点在y轴上的双曲线方程可设为＝1.
(3)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；
如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0).
(4)与双曲线＝1或＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
1.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝( )
A. B.4 C.2 D.
2.已知双曲线C：＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C
的方程为( )
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
3.双曲线 的渐近线方程为_ ___________.
D
A
根据今天所学，回答下列问题：
1.双曲线的离心率和渐近线方程分别是什么？
2.求离心率的方法有哪些？
3.常见的双曲线的求法有哪些？
