(共15张PPT)
2.3.2 课时1
抛物线的简单几何性质
1.掌握抛物线的简单几何性质；
2.能根据抛物线的性质求抛物线方程.
问题：根据抛物线的标准方程可以得到抛物线的哪些几何性质呢？
抛物线在y轴的右侧，开口向右；
当x的值增大时，|y|的值也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
由 可知，对于抛物线上的点M(x,y)，
x≥0,y∈R.
1.范围
l
F
M
K
O
y
x
2.对称性
(x0,y0)
(x0,-y0)
根据y2=2px(p＞0)①的结构特点，可以发现：若(x0，y0)满足方程①，则(x0，-y0)也满足方程①，
l
F
M
K
O
y
x
∴抛物线y2=2px(p＞0)是关于x轴对称的曲线.
抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.
3.顶点
在方程①中，当y=0时，x=0，因此，抛物线的顶点就是坐标原点.
4.离心率
由抛物线的定义可知，e = 1．
l
F
M
K
O
y
x
抛物线上的点M 到焦点F的距离和它到准线的距离d的比 叫作抛物线的离心率，用e表示.
归纳总结
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)抛物线的离心率e是确定的，e=1.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
e=1
不同抛物线的简单几何性质
例1:求顶点在原点，经过点( ，-6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
如图.
解：∵点( ，-6)在第四象限，
∴若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为
∵点( ，-6)在抛物线上，
解得
∴所求抛物线的标准方程为
例1:求顶点在原点，经过点( ，-6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
如图.
若y轴是抛物线的对称轴，
同理可得抛物线的标准方程为
例2:已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解法一：由抛物线开口方向向下，
可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
所以
解得
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
例2:已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解法二：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，
如图所示，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，
而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
1.代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程(组)求出未知数．
2.几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准距，从而得到抛物线的标准方程．
归纳总结
由抛物线的几何性质求其方程
1.已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(1，0) B． C． D．(0，1)
2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2
C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝ .
C
D
0
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
e=1
y2 = -2px
x≤0, y∈R
y2 = 2px
x≥0, y∈R
x2 = -2py
x∈R, y≤0
x2 = 2py
x∈R, y≥0
不同抛物线的简单几何性质(共12张PPT)
2.3.2 课时2
抛物线的性质应用
1.会利用抛物线定义求解相关问题.
2.掌握与抛物线有关的轨迹问题.
3.能利用抛物线方程解决一些实际问题.
例1:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标.
解法1:由抛物线方程y2=4x，可得焦点F(1，0).
将①代入②，消去y0，然后两边平方，得(x0-1)2+4x0=25，
解得x0=-6或x0=4.
设点P的坐标为(x0，y0)，依题意有
①
②
将x0=-6代入①，得y02=-24无解，故舍去；
将x0=4代入①，得y02=16，即y0=±4.
∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4).
例1:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标.
解法2:设点P的坐标为(x0，y0)，由点P在抛物线y2=4x上，得y02=4x0.
由点P到焦点F的距离为5可知，点P到抛物线的准线的距离也为5，
即x0-(-1)=5,解得x0=4.
由抛物线方程y2=4x，可得其准线方程x=-1.
将x0=4代入y2=4x，得y02=16，即y0=±4.
∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4).
例2:如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|=3，求抛物线的方程.
解：分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于E，D，
则|BF|＝|BD|，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，
又∵|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝，
∴抛物线的方程是y2＝3x.
例3:已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积.
解：∵△AOB是等边三角形，A、B在抛物线y2＝x上，
∴顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，
不妨设A(y0，)(y0>0)，则B(y0，－)．
由|AF|＝y0＋＝，解得y0＝3，∴＝，
∴△AOB的边长|AB|＝2＝2，
∴△AOB的面积为×(2)2×＝3.
例4:有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.若行车道总宽度 为8米.
（1）计算车辆通过隧道时的限制高度；
（2）现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道？
解：（1）建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为 ，
根据题意，此抛物线经过点 ，代入抛物线方程解得 ，
所以抛物线的方程为 .
在此方程中令 ，得 ，
因此， ，
所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米.
（2）对于抛物线 ，令 ，得 ，
因为 ，所以，该车不能安全通过隧道.
归纳总结
求抛物线实际应用的五个步骤：
1.若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A.x＋4＝0 B.x－4＝0
C.y2＝8x D.y2＝16x
2.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足.如果直线 的斜率为 ，那么 ( @41@ )
A. B. C. D.
D
B
3.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管|O'P|=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为 米(精确到1 m).
5
根据今天所学，回答下列问题：
1.求解抛物线的实际应用问题的基本步骤是什么？
