(共16张PPT)
2.4.1 直线与圆锥曲线的交点
直线与圆锥曲线的位置关系,可否像讨论直线与圆的位置关系那样,将直线与圆锥曲线的方程联立组成方程组,通过方程组的解的个数来讨论?
1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数.
2.会由直线与圆锥曲线的交点个数,求参数的范围.
例1:如图,求直线l:y=-x+1与椭圆C: 的交点坐标.
解:直线l与椭圆C的交点坐标是方程组 的解.
将①代入②,得
代入②,得方程组的解为
方程组可化为
①
②
解得
∴直线l与椭圆C的交点坐标为
例2:已知椭圆C: ,若直线l:x-y+m=0与椭圆C有唯一的公共点,求实数m的值.
解:如图,由直线l的方程特征可知,随着m的变化,直线l平行移动,若与椭圆C有唯一的公共点,则直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解.
联立直线与椭圆的方程,得
O
x
y
l
方程组可化为
①
②
将②代入①,并整理得
③
∵方程③是一元二次方程,
∴它有唯一的实数解的充要条件是
解得 或
∴当直线l与椭圆C有唯一的公共点时,实数m的值为 或
O
x
y
l
例2:已知椭圆C: ,若直线l:x-y+m=0与椭圆C有唯一的公共点,求实数m的值.
归纳总结
直线与椭圆位置关系:
设直线与椭圆方程分别为:y=kx+m与=1联立方程组,消去y得:(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0.
(1)Δ>0 方程组有两解 ________ ________;
(2)Δ=0 方程组有一解 ________ ________;
(3)Δ<0 方程组无解 ________ ________.
两个交点
相交
一个交点
相切
无交点
相离
例3:已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
思考:直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗?
不一定,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线只有一个公共点,但两者相交.
例3:已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
解:联立方程组消y得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)
当k=0时,(*)只有一个解,x=,
∴直线l与抛物线C只有一个公共点(,1).
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;
②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;
③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;
当k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点;
当k>1时,l与C没有公共点.
归纳总结
相交
相切
相离
直线与抛物线的位置关系
代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.
例4:已知双曲线 ,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的斜率k.
解:(ⅰ)当直线l的斜率不存在时,
l:x=1与双曲线相切,符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时,
设l的方程为y=k(x-1)+1,
例4:已知双曲线 ,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的斜率k.
l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个公共点;
当4-k2=0时,k=±2,
当4-k2≠0时,依题意得 =0,得
综上,k= 或k=±2或k不存在.
归纳总结
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
注意:直线与双曲线的关系中,一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支.
1.直线 与椭圆 的位置关系为( @ 4@ )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2.(多选)若直线 与双曲线 有两个交点,则 的值可以
是( @6@ )
A. B. C. D.
3.已知抛物线方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 .
B
CD
[-1,1]
根据今天所学,回答下列问题:
1.判断直线与椭圆位置关系的方法步骤.
2.如何判断直线与抛物线的位置关系?直线与双曲线呢?