3.1.1 点在空间直角坐标系中的坐标（19页）课件 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修1

(共19张PPT)
3.1.1 点在空间
直角坐标系中的坐标
x
0
数轴上的点可以用
唯一的一个实数表示
-1
-2
1
2
3
A
B
在数轴上，如何确定一个点的位置？
平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示点
x
y
P
O
x
y
(x,y)
在平面坐标系中，如何确定一个点的位置？
在墙角处发现一只飞行的小蜜蜂，如何确定它的位置？
1.了解空间直角坐标系.
2.在给定的空间直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
如图，过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
x
y
z
O
坐标原点
横轴
纵轴
竖轴
通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
概念讲解
一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.
它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向.
我们也称这样的坐标系为右手系(如图).
注意：
(1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分.
(2)将x轴和y轴放在水平面上.
(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合.
(4)建立的坐标系均为右手系.
讨论：如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？
提示：类比平面上点的坐标的确定方式,可以先作出点P在三条坐标轴上的投影,再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.
如图，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C，
设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a,b,c，那么点P应对应唯一的三元有序实数组(a,b,c).
则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影.
讨论：如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？
反过来，任意给定一个三元有序实数组(a，b，c)，按照刚才作图的相反顺序，可以先在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为a，b和c的点A、点B和点C，再过点A，B，C各作一个平面，使之分别垂直于x轴、y轴和z轴，则这三个平面的唯一交点就是由三元有序实数组(a，b，c)确定的点P.
归纳总结
空间中点的坐标：在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x,y,z)之间，就建立了一一对应的关系：
P (x，y，z).
横坐标
纵坐标
竖坐标
例1:如图，在空间直角坐标系O-xyz中，已知长方体OABC-O'A'B'C'，|OA|=3，|OC|=4，|OO'|=2，写出O'，A'，B'三点的坐标.
解：点O'在z轴上，且|OO'|=2，则它的竖坐标为2，
又它的横坐标和纵坐标都为0，∴点O'的坐标为(0，0，2).
点A'在zOx平面内，则它的纵坐标为0.
点A'在x轴、z轴上的投影依次为点A、点O'，又|OA|=3，|OO'|=2，
∴点A'的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A'的坐标为(3，0，2).
点B'在x轴、y轴和x轴上的投影依次为点A、点C和点O'，
∴点B'的坐标为(3，4，2).
例2:在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
解：方法一　先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，
因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，
且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，
这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
方法二　以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，
使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
例2:在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
归纳总结
(1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
由点的坐标确定点位置的方法：
1.(多选)下列命题中正确的是( )
A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)
D.在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a，0，c)
2.在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为 ．
BCD
(－4，0，0)
3.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为_____________________________.
(2,2,0)，(0,2,0)，(0,2,1)，(2,0,4)
根据今天所学，回答下列问题：
1.空间直角坐标系是什么？
2.点在空间直角坐标系中的坐标表示.
3.如何根据点的坐标确定点的位置？