3.1.2 空间两点间的距离公式（15页）课件 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修1

(共15张PPT)
3.1.2 空间两点间的距离公式
1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.
2.会用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离.
思考：在空间直角坐标系中，两点间的距离与两点的坐标有何关系
在空间直角坐标系中，给定P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点.
特殊情况：若其中一点为原点，不妨设点Q为原点O，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，则被各坐标平面所截可得长方体A1P1C1O-APCB(如图1)，且长方体的棱长满足|OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|.
图1
由图1可知，P，O两点间的距离就是长方体A1P1C1O-APCB的对角线PO的长度.
根据长方体对角线的长与各棱长的关系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2，
即
由上述方法得到启发：空间中两点间的距离可以转化为长方体对角线的长度.
图1
一般情况：对于空间任意P，Q两点，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，过点Q也分别作与三条坐标轴垂直的平面(如图2)，
当这六个平面均不重合时，它们围成一个长方体PCBA-EFQD，且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合.
由图易知，C，B两点的坐标分别为(x1，y2，z1)，(x2，y2，z1)，
∵CB平行于x轴，∴|CB|=|x2-x1|.
同理有|PC|=|y2-y1|，|BQ|=|z2-z1|.
图2
图2
∴|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2，
即
当这六个平面中至少有两个平面重合时，不妨设垂直于轴的两个平面重合(z1=z2)，作出其余四个平面与xOy平面的交线(如图3).
易证明：四边形PQQ1P1为矩形或线段PQ与P1Q1重合，∴|PQ|=|P1Q1|.
图3
图3
由图3易知，P1，Q1两点的坐标分别为(x1，y1，0)，(x2，y2，0)，
再根据平面上两点间的距离公式，有
于是仍有
归纳总结
已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为
这就是空间两点间的距离公式.
例1:已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
解：(1)由空间两点间距离公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为.
例1:已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2，3，)，
∴AC边上中线的长度为＝.
1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．
2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．
归纳总结
例2:设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离是到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标.
解：∵P在x轴上，∴设P点坐标为(x，0，0)，
又∵|PP1|＝2|PP2|，
∴，
∴x＝±1，
∴点P坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).
由空间两点间距离求点的坐标的方法：
归纳总结
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
1.在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是(　　)
A．3或5 B．－3或－5
C．3或－5 D．－3或5
2.已知点A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1，1，1)的距离是 ．
A
B
或
空间两点间距离公式是什么？回顾其推导过程.