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资源详情
高中数学
北师大版(2019)
选择性必修 第一册
第三章 空间向量与立体几何
2 空间向量与向量运算
本节综合与测试
3.2 空间向量与向量运算 课件(2份打包) 2024-2025学年高二数学北师版(2019)选择性必修1
文档属性
名称
3.2 空间向量与向量运算 课件(2份打包) 2024-2025学年高二数学北师版(2019)选择性必修1
格式
zip
文件大小
848.4KB
资源类型
教案
版本资源
北师大版(2019)
科目
数学
更新时间
2024-11-23 22:08:43
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文档简介
(共19张PPT)
3.2.1-3.2.2 课时1
空间向量的概念及线性运算
回忆一下平面向量的有关内容并回答以下问题:
(1)如图,向量如何表示?其模如何表示?
(2)零向量和单位向量如何定义?
(3)平面中某两个长度一样但方向相反的向量是什么向量?
(4)平面中某两个向量平行或重合,这两个向量称为什么向量
(5)方向相同且模相等的向量称为什么向量?
表示为
或
.其模记为
或
长度为0的向量叫作零向量;
模为1的向量叫作单位向量.
相反向量
共线向量或平行向量
相等向量
1.理解空间向量及相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.理解共线向量定理、共面向量定理.
阅读教材,完成下列问题及表格:
1.在空间中,把具有 和 的量叫作空间向量,向量的大小叫作向量的 或 .
大小
方向
长度
模
空间向量用a表示,表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模,用|a|表示.有向线段的方向表示向量的方向.
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量
自由向量 数学中所研究的向量,与向量的起点 ,称之为自由向量
相反向量 的向量互为相反向量,向量a的相反向量用___表示
零向量 规定模为0的向量叫作 ,记为0
共线向量 表示向量的两条有向线段所在的直线 时,称这两个向量互为共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量____
共面向量 平行于 的向量,叫作共面向量
相同
相等
-a
零向量
平行或重合
平行
同一平面
无关
方向相反且模相等
注意:
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等,方向相同.
(3)向量不能比较大小.
(4)共线向量不一定具备传递性,比如0.
(5)空间中任意两个向量都是共面向量.
例1:如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,
(1)试写出与向量 相等的向量;
(2)试写出向量 的相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量 的模.
解:(1)与向量 相等的向量有
(3) ∴
(2)向量 的相反向量为
思考1:给出两个空间向量a、b,如何作出a+b.
先把向量a,b平移到同一个平面α内,以任意点O为起点作
则
a+b
a
A
B
b
C
a
b
上述求两个空间向量和的法则,叫作向量求和的三角形法则.
这时,O,A,B三点不共线,在平面OAB内,以OA,OB为邻边作□OACB.
当空间向量a,b不平行时,过空间任意一点O作
b
a
a+b
b
B
C
O
A
a
由此可见,平面向量求和的平行四边形法则,对空间向量同样适用.
由此可证:空间向量的加法满足交换律.
思考2:空间向量的加法是否满足结合律?
以平行六面体ABCD-A'B'C'D'为例加以说明.
与平面向量类似,空间向量a,b的差也可定义为a+(-b),记作a-b,其中-b是b的相反向量.
归纳总结
加法运算 三角形法则
平行四边形法则
减法运算
加法运算律 交换律
结合律
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
三角形法则
定义 与平面向量类似,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算.
几何意义 λ>0 向量λa与向量a的方向____ λa的长度是a的长度的 倍
λ<0 向量λa与向量a的方向____
λ=0 λa=0,其方向是 的
运算律 结合律 λ(μa)=_____
分配律 (λ+μ)a= ,λ(a+b)= ,其中λ∈R,μ∈R.
相同
相反
任意
|λ|
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
对于任意一个非零向量a,当 时, 表示与向量a同方向的单位向量.
例2:如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.
解:
(2)∵M是BB1的中点,
共线向量基本定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.(也称“一维向量基本定理”)
思考交流:任意给定两个不共线的向量a,b,若存在实数x,y,使得向量c=xa+yb,则向量c与a,b是否为共面向量?
共面向量基本定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
例3:如图,在正方体
中,
为
上一点,且
,
与
交于点
.求证:
,
,
三点共线.
证:设
,
,
,
则
例3:如图,在正方体
中,
为
上一点,且
,
与
交于点
.求证:
,
,
三点共线.
,
,
,
又直线
与直线
有公共点
,
,
,
三点共线.
证明(或判断)A,B,C三点共线,只需证明存在实数λ,使=λ即可.也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t)”来证明三点共线.
证明三点共线时,关键是利用向量的线性运算将相关向量线性表示.
归纳总结
1.下列说法正确的是( )
A.如果两个向量不相等,那么它们的长度不相等
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量模的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
2.在四边形ABCD中,若=,且||=||,则四边形ABCD为( )
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
3.在正方体中,下列各组向量与共面的是( @57@ )
A. , B. , C. , D. ,
D
B
C
通过本节课的学习你了解到有关空间向量的什么知识?(共18张PPT)
3.2.1-3.2.2 课时2
空间向量的数量积
1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些?
向量的加法、减法、数乘运算.
2.空间向量的线性运算满足哪些运算律?
向量的线性运算满足交换律、结合律和分配律.
1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解投影向量以及投影数量的概念.
4.能用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.
思考:类比平面向量的数量积,你能得出空间向量的数量积相关知识吗?
已知两个非零向量a,b,
a
b
通常规定,
这样,两个向量的夹角是唯一确定的,且
0≤
≤π.
=
.
作 =a, =b,则∠AOB叫作向量a,b的夹角,记作
.
在空间任取一点O,
a
b
A
O
B
a
b
A
O
B
当
=0时,向量a,b方向相同;
当
= 时,称向量a,b互相垂直,记作a⊥b.
当
=π时,向量a,b方向相反;
规定:零向量与任意向量垂直.
已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos
叫作a,b的数量积,记作a·b,即
与平面向量类似,空间向量的数量积也是一个实数,容易得到以下结论:
a·b=|a||b|cos
.
(1)
(2)
(3) a⊥b a·b=0.
与平面向量类似,空间向量的数量积运算也满足如下运算律:
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;
(3) λa·b=λ(a·b)(λ∈R).
思考:一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗 若共线,它们的方向相同还是相反
一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,它们有可能方向相同,也有可能方向相反.
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 过点B作直线OA的垂线,垂足为点B1,称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos
|.
当
为锐角时,|b|cos
>0,如图(1);
当
为钝角时,|b|cos
<0,如图(2);
当
= 时,|b|cos
=0,如图(3).
结合空间向量数量积的定义可知:向量b在向量a方向上的投影数量为
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为
因此,称|b|cos
为投影向量 的数量,简称为向量b在向量a方向上的投影数量.
例1:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积:
(1)·;(2)·;(3)·.
解:如图,设=a,=b,=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=a·c=b·c=0,
(1)·=·()
=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16;
解:如图,设=a,=b,=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=a·c=b·c=0,
(2)·=()·()
=(c-a+b)·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0;
(3)·=()·()
=[(c-a)+b]·(b+a)
=-|a|2+|b|2=2.
(2)·;(3)·.
由向量数量积的定义知,要求a与b的数量积,需已知|a|,|b|和〈a,b〉,a与b的夹角与方向有关,一定要根据方向正确判定夹角的大小,才能使a·b计算准确.
归纳总结
例2:如图,已知四棱柱
的底面
是矩形,
,
,
,
,
为棱
的中点,求
在
上的投影向量及投影数量.
解:由图可知,
,
∴
.
例2:如图,已知四棱柱
的底面
是矩形,
,
,
,
,
为棱
的中点,求
在
上的投影向量及投影数量.
∵
,
∴
在
上的投影向量是
,
在
上的投影数量是
.
1.(多选)设a,b为空间中的两个非零向量,则下列各式正确的是( )
A.a2=|a|2 B.=
C.(a·b)2=a2·b2 D.(a-b)2=a2-2a·b+b2
2.已知 , 为单位向量,且 ,若 , , ,则实数 的值为( @37@ )
A. B. C. D.
AD
B
3.如图,在长方体ABCD A′B′C′D′中,已知|AB|=5,|AD|=4,|AA′|=3,则向量在方向上的投影数量为 ,向量方向的投影数量为________.
-4
3
根据今天所学,回答下列问题:
1.空间向量的线性运算和数量积运算分别是怎样的?
2.什么是空间向量的投影向量和投影数量?
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