(共18张PPT)
3.3.2 课时1
空间向量运算的坐标表示
与平行(共线)、垂直的条件
通常我们说的三维是指在平面二维系中又加入了一个方向向量构成的空间系.一般用 轴形容左右运动，而 轴用来形容上下运动， 轴用来形容前后运动，这样就形成了人的视觉立体感.如何用坐标表示三维空间呢？
1.掌握空间向量的坐标表示及其运算.
2.理解空间向量平行与垂直的条件.
在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得
p=xi+yj+zk.
反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应.
x
i
j
O
k
y
z
这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作
p=(x，y，z).
单位向量i，j，k都叫作坐标向量.
xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，
x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量.
在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
若点P的坐标为(x，y，z)，由空间向量的加法不难得出
=xi+yj+zk(如图)，于是向量 的坐标也是(x，y，z).
向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O-xyz中的坐标(x，y，z).
x
i
j
O
k
y
z
P
若点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，
则
也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，
根据向量数量积的分配律，以及i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=i·k=0，
即可得出
因此，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据空间向量的运算法则，不难得到：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
解：∵a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)．
∴a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)
＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)；
3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1，4)
＝(3×2，3×(－1)，3×(－2))＋(2×0，2×(－1)，2×4)
＝(6，－3，－6)＋(0，－2，8)＝(6，－5，2)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
例1:已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，3a＋2b，a·b.
归纳总结
1.在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等；
2.进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以先求出2a，－b后，再求数量积，计算(a＋b)·(a－b)，即可以先求出a＋b，a－b后，再求数量积也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
我们知道，当b≠0时，
如果设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那么当b≠0时，
a∥b 使得a=λb.
a∥b 使得
当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，
a∥b
类似地，可得
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
例2:已知空间三点，，(，，).设，.
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 与 互相垂直，求 .
解：（1） 且 ，
∴设 .
，
解得 . 或 .
（2）若 与 互相垂直，求 .
（2） ， ，
， .
， ，
即 ，
解得 或 .
向量平行与垂直问题主要有两种题型
归纳总结
（1）平行与垂直的判断；
（2）利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.
解题时要注意：①适当引入参数（比如向量 ， 平行，可设 ），建立关于参数的方程；②最好选择向量的坐标形式，以达到简化运算的目的.
1.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
2.已知向量a=(1，-2，1)，a+b=(-1，2，-1)，则b等于( )
A.(2，-4，2) B.(-2，4，-2)
C.(-2，0，-2) D.(2，1，-2)
3.已知空间向量a＝(2，2，－3)，b＝(0，6，m)，若a⊥b，则m＝( )
A． B．1 C．2 D．4
A
B
D
回顾本节课所学知识：
1.空间向量坐标表示.
2.空间向量坐标的运算.
3.空间向量平行与垂直的坐标表示.(共14张PPT)
3.3.2 课时2
空间向量长度与夹角的坐标表示
1.进一步熟悉空间向量的坐标表示.
2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题.
如图，若把 ， 放在同一铅垂面，测得 ， ，如何求 ？
，
根据向量模的公式，可得 .
若把 ， 放在三维空间中，如何求 ？
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，可以得到：
若点A的坐标为(a1，b1，c1)，点B的坐标为(a2，b2，c2)，
则
例1:已知空间三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，求线段AB的长和∠BAC的大小.
解：
又∵两个向量的夹角取值范围为[0，π]，
归纳总结
1.求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算.
2.(1)〈a，b〉∈[0，π].
(2)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则
例2:在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，
F，G.
所以＝，
＝＝
＝.
因为·＝×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因为·＝×1＋×0＋＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos 〈〉＝＝＝.
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)|CE|＝||＝＝.
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长．
归纳总结
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
空间向量的坐标运算的一般步骤
例3:已知a＝(5，3，－1)，b＝（2，t，），若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
解：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，
即10＋3t＋>0，则t>－，
又当夹角为0°时，存在λ>0，使b＝λa，
即（2，t，）＝λ(5，3，－1)，所以解得t＝.
综上，实数t的取值范围是(－)∪().
1.已知向量a＝(1，3，3)，b＝(5，0，1)，则|a－b|等于( )
A.7 B．
C．3 D．
2.设 ， ， ，则 的中点 到点 的距离 的值为( @39@ )
A. B. C. D.
B
C
3.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，)，B，
C(－1，0，)，则角A的大小为________．
30°
1.空间向量长度的坐标表示
2.空间向量夹角的坐标表示
