(共16张PPT)
3.4.1 课时1
直线的方向向量
与直线的向量表示
1.能用向量语言表述直线.
2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量.
3.理解点在直线上的充要条件.
问题2：在空间中，怎样可以确定一条直线？
问题1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
两点可以确定一条直线；
直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线.
在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示，向量 就是点P的位置向量.
1.直线 的方向向量
如图，设 ， 是直线 上不重合的任意两点，称 为直线 的方向向量.显然，一条直线有无数个方向向量，根据平行向量的定义可知，这些方向向量都平行，因此与 平行，故与 平行的任意非零向量 也是直线 的方向向量.
概念讲解
2.直线 的向量表示:
如图，点 是直线 上的一点，非零向量 是直线 的一个方向向量，那么对于直线 上的任意一点 ，一定存在实数 ，使得 .
我们把这个式子称为直线 的向量表示.
注意
1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：
(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合．
2.与直线l平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
3.给定空间中任意一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线．
4.表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
例1:已知点，，为线段上一点且 ，求点的坐标.
解：∵点 在线段 上， .
设 ，由 ，
得 ，
即 解得
∴点 的坐标是 .
例2:如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量.
证：连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点，
又M是PC的中点，∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM，PA 平面BDM，∴PA∥平面BDM.
∵PA 平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，
∴PA∥GH，
∴是直线GH的一个方向向量.
例3:在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0)，B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求
解：依题意知
∴存在实数λ，使得
则
∵点D是直线AB上的一点，
∵CD⊥AB，
即
解得
问题：在空间中，如何证明A，B，P三点共线？
例4:求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得
证明：如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得
整理得
P
A
B
O
同时这也是P，A，B三点共线的充要条件.
例5:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证：连接AO，AC1，A1C1，
则
=，
∵=2，=+==，
∴+=.
例5:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
又=1，
故C1，O，M三点共线.
归纳总结
三点P，A，B共线的三种充要条件
1.若 ， 在直线 上，则直线 的一个方向向量为( @29@ )
A. B.
C. D.
2.已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( @29@ )
A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1
3.在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若 ，且G，M，N三点共线，求x+y= .
A
A
回顾本节课所学知识：
1.直线的方向向量及应用.
2.直线的向量表示.
3.点在直线上的充要条件.(共17张PPT)
3.4.1 课时2
平面的法向量及其应用
1.能用向量语言表述平面.
2.理解平面的法向量，并且会用待定系数法求平面的法向量.
3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题.
已知直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线.
(1)表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直
(2)直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直
垂直.因为这些直线与l平行或重合.
垂直.
如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α.
如图，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有
思考：如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢？
①
α
l
M
P
n
反过来，由立体几何知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，所以把①式称为平面α的一个向量表示式.
①
注意：1.平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
2.一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
如图，在空间直角坐标系中，若n=(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有
①
代入①式，得
②
即
由此可见，平面α内任意一点P的坐标(x，y，z)都满足方程②；
反之，以满足方程②的(x，y，z)为坐标的任意一点也都在平面α内.
所以方程②叫作平面α的方程.
②
例1：如图所示，在多面体 中，四边形 ， ， 均为正方形， 为 的中点，过点 ， ， 的平面交 于点 ，分别求平面 、平面 的一个法向量.
解：∵四边形 ， ， 均为正方形，
，，，且 .
以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，
则 ， ， ， ，
.
设平面 的法向量为 ，
又 ， ，
由 ， 得
令 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 ， ，得
令 ，则 .
故平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 .
归纳总结
利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的法向量为 .
（2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量 ， .
（3）列方程组：由 列出方程组.
（4）解方程组
（5）赋非零值：取 ， ， 的其中一个为非零值（常取 ）.
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
例2：在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证: .
（2）在平面 内是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意知， ， ， 两两垂直.
如图，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ， ， ， ， .
因为 ，所以 ，从而 .
（2）存在.理由如下:假设存在满足条件的点 ，
设 ，则 ，
又 ， ，
若 平面 ，
则 ，得 .
，得 ，
所以点 的坐标为 ，
故存在满足条件的点 ，且 为 的中点.
（2）在平面 内是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
1.已知平面过点 ，其法向量为，则下列点不在平面内的是( @4 @ )
A. B.
C. D.
2.已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( @ 4@ )
A.(4，2，－2) B.(2，0，4)
C.(2，－1，－5) D.(4，－2，－2)
C
D
3.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的方程是_____________.
x＋2y－3z＝0
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是平面的法向量？
2.平面的方程是什么？
3. 求平面法向量的方法与步骤是什么？
