(共14张PPT)
3.4.2 课时2
三垂线定理及其逆定理
1.理解并掌握三垂线定理及其逆定理.
2.会用空间向量解决立体几何问题，掌握其一般步骤.
例1:已知：如图，AB⊥α，垂足为点B，
求证：l⊥AC.
证明：设向量l是直线l的方向向量.
由l⊥BC可知，
本例所证明的结论，通常称为三垂线定理.这里，直线BC实际上是斜线AC在平面α内的投影.
归纳总结
1.三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.
2.三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，
求证:BD1⊥平面AB1C.
证明:连接BD，A1B.
∵DD1⊥平面ABCD，
∴BD是斜线D1B在平面ABCD内的投影.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，即AC垂直于斜线D1B在平面AD内的投影BD.
∴AC⊥BD1.同理可证AB1⊥BD1.
又AB1∩AC=A，AB1，AC 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
归纳总结
用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出或作出平面的垂线，至于投影则是由垂足和斜足来确定的.
证明a⊥b(线线垂直)的一个程序:一垂、二投、三证.即
第一，找或作平面垂线.
第二，找投影，这时a，b变成平面内的一条直线与平面的一条斜线.
第三，证明直线a与投影垂直，从而得出a与b垂直.
例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
证明：由直三棱柱ABC-A'B'C'，可知A'A⊥平面ABC.
故以点A为原点，AB，AC，AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
又
设AA'=1，
则
例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
∵点M，N分别为A'B和B'C'的中点，
(1)由图易知 是平面A'ACC'的一个法向量.
∴ ∥平面 A'ACC'.
又∵ 平面A'ACC'，∴MN∥平面A'ACC'.
例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
(2)依题意有
设n1=(x，y，z)是平面CMN的一个法向量，
则
不妨取y=1，得
同理可得平面A'MN的一个法向量
∴平面CMN⊥平面A'MN.
例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
归纳总结
利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤
1.建立适当的空间直角坐标系，求对应点的坐标；
4.把向量运算的结果“翻译”为几何结论.
3.运用向量方法求解；
2.用坐标表示空间向量；
1.菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是______.
2.若直线l的方向向量为a=(2，0，1)，平面α的法向量为n=(-4，0，-2)，则直线l与平面α的位置关系为( )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α D.l⊥α
垂直
D
3.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于( )
A. B.
C. D.
D
根据今天所学，回答下列问题：
1.三垂线定理及其逆定理分别是什么？
2.利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤是什么？(共18张PPT)
3.4.2 课时1
用向量方法研究
立体几何中的位置关系
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直的关系不同思路.
已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面α，β的法向量分别为n1，n2.
(1)若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面α，则它们的方向向量和法向量有什么关系
(2)若l1⊥l2，l1∥β呢
(3)若α∥β，则n1，n2有什么关系
u1∥u2∥n1
u1⊥u2，u1⊥n2
n1∥n2
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l∥m或l与m重合 _____；
l∥α或l α ______；
α∥β或α与β重合 n1∥n2.
l∥m
l⊥n1
思路1 若只从直线的方向向量和平面的法向量入手考虑，设向量l是直线l的方向向量，n1是平面α的法向量，则只需证明l⊥n1.
想一想：请从不同角度用向量方法证明l∥α.
思路2 考虑向量与平面平行的定义，以及平面向量基本定理，从而得到：将直线l的方向向量l用平面α的一组基线性表示，此时必有l∥α.
由此可知，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述， 另一方面也需要结合向量自身的特点.
思路3 直接将线面平行的判定定理向量化，找到m α，且直线l与m的方向向量共线.
问题：如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
归纳总结
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l∥m或l与m重合
l∥α或
α∥β或α与β重合
例1:在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点.
求证： 平面 .
解：（法一）如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则 ， ， ，
， ，
于是 ， ，
.
设平面 的法向量为 ，则
即 取 ，则 ， ，
∴平面 的一个法向量为 .
又 ， ，
平面 .
（法二） ，
， 平面 .
（法三）
.
即 可用 与 线性表示，故 与 ， 是共面向量，故 平面 .
例2:证明“两个平面平行的判定定理”：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，且a∥β，b∥β.
求证：α∥β.
证明：设向量a，b分别是直线a，b的方向向量.
α
a
b
∵a∥β，b∥β，∴a∥β，b∥β.
设n是平面β的法向量，则n⊥a，n⊥b.
∴n⊥α，∴α∥β.
∵a，b是平面α内的两条相交直线，
β
n
例3:在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN.
证：如图所示，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，
N(0，1，1)．
∴＝(0，－1，1)，＝(1，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量，
由得
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由得
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
于是有m＝n，所以m∥n，故平面EFG∥平面HMN.
归纳总结
证明面面平行问题可由以下方法证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行；
②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
1.设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a⊥n”是“l∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A.2 B.－4
C.4 D.－2
B
C
3.(多选)若直线l的方向向量为a，l不在平面α内，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
AD
根据今天所学，完成下列表格：
几何关系 向量语言
l∥m
l∥α
α∥β
l⊥m
l⊥α
α⊥β
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
