(共19张PPT)
3.4.3 课时3
点到平面的距离
能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题.
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计
思考1：点到平面的距离是什么？
点到平面的距离就等于过这点向平面所作垂线段的长度.
思考2：如何利用向量方法求点到平面的距离？
可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离.
问题：设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？
过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′，
则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，
而
∴向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 就等于线段PP′的长度.
归纳总结
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，
即
例1:已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
解：以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，
＝(0，－2，0)．
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由得
∴
令y＝1，则n＝(－1，1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为d＝＝＝.
例1:已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
归纳总结
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n).
(4)求距离d＝......
例2:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由.
分析：平面ACD'截正方体得一个三角形，如图.点C'不在该三角形内，所以C'M 平面ACD'.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD'的法向量与 是否垂直.
解：以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由正方体的棱长为1，得
设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则
取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).
∴ ∥平面ACD'.
∴C'M∥平面ACD'.
∴直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线C'M到平面ACD'的距离.
又C'M 平面ACD'，
∴点C'到平面ACD'的距离为
即直线C'M到平面ACD'的距离为
例2:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由.
归纳总结
对于“求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离的问题”转化为“求直线或平面上一点到另一平面的距离”.
例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值.
换句话说，当a，b变化时，点M是平面xOy内的动点.
分析：记向量
由平面向量基本定理可知，对任意的a，b，向量 都在 所确定的平面xOy内，
反之，平面xOy内的任意向量都可以用
来表示，
解：如图，
由点到平面距离的定义，当且仅当n⊥平面xOy时，线段MY的长度最短.
要使向量 的长度最小,也就是线段MY的长度最短.
这时
例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值.
例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值.
由
得
解得
∴向量 的长度最小时，
1.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________．
2.已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，
若点 到 的距离为 ，则 ( @12@ )
A. B.
C. 或 D. 或16
C
3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( )
B
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何求点到平面的距离？距离公式是什么？
2.如何求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离？(共19张PPT)
3.4.3 课时1
直线与直线、直线与平面的夹角
1.会用向量法求线线角、线面角.
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.
回答下列问题：
(1)空间两条直线的夹角与两条异面直线的夹角的范围相同吗
(2)空间两条直线的夹角的范围是多少
不相同，两条异面直线的夹角不包括两条直线平行的情形，即不包括零角.
当两条直线平行时，规定它们所成的角为0；
当两条直线a与b是异面直线时，
在空间任取一点O，过点O作直线a'和b'，使得a'∥a，b'∥b，
当两条直线a与b相交时，我们把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角(如图①)；
a
b
图①
把a'，b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图②).
图②
a
b
a'
b'
O
思考1：若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？
归纳总结
若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈
且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补.
也就是说，当 时，
当 时，
故
cos θ＝|cos〈a，b〉|.
例1:如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角．
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a).
∴＝(0，－a，a)，＝(－a，a，0)，
∴cos 〈，〉＝＝＝－
∴〈，〉＝，
∴异面直线BA1和AC的夹角为.
求异面直线夹角的步骤
归纳总结
(1)确定两条异面直线的方向向量.
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.
(3)得出两条异面直线所成的角.
平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角.
当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为0；
当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为
思考2：观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？
设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，
故
sin θ＝|cos〈l，n〉|.
则直线l与平面α所成的角θ∈
且θ= 或θ=
归纳总结
解：由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以点A为原点，AC，AA'所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.
易知n=(1，0，0)是平面ACC'A'的一个法向量.
由△ABC是边长为2的正三角形，可得
例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.
设直线AB'与侧面ACC'A'所成角为θ，
故直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为
则
例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.
例3:在正方体ABCD A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．
解：如图，建立空间直角坐标系D xyz，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0，)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
∴A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1B1＝(0，1，0).
设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由知即∴
故可取n＝(1，0，－1).
例3:在正方体ABCD A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．
故cos 〈，n〉＝＝，
所以〈，n〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
归纳总结
1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则异面直线l1与l2的夹角等于( )
A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均错
2.已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2，0)，则两条直线夹角的余弦值为________．
A
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱CD、BC的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
B
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何用向量法求空间内的线线、线面夹角？(共14张PPT)
3.4.3 课时4
点到直线的距离
经历点到直线距离公式的推导过程，会用公式解决空间内的距离问题.
回顾：如何求平面内直线l外一点P到直线l距离？请写出大致思路.
1.综合几何法：如图(1)，过点P作直线l的垂线，垂足为点D1，一般转化为求三角形的高，即PD1的长度.
2.解析几何法：如图(2)，确定点P的坐标及直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可得点P到直线l的距离PD2的长度.
3.平面法向量法：如图(3)，先求出直线l的单位法向量n0，再求向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 即可.
问题1：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢
事实上，在平面向量中就是这样做的.
按照前面的思路，若能求出垂线段PP'的方向向量，则可在直线l上任取一点A，求 在向量 方向上的投影向量的长度即可.
然而在空间中，求垂线段的方向向量较为困难.
然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得|PP'|即可.
但直线l的方向向量已知，所以可先求出 在l0方向上的投影数量，
在Rt△PP'A中，
于是，点P到直线l的距离为
思考：除了这种方法，你还能怎样推导出点到直线的距离公式呢？
问题2：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小
因此只需求λ的值，使得|PQ|最小即可.
对于直线l上任意一点Q，总存在实数λ，使得
∴ 是关于λ的二次函数.
当 时， 最小，
最小值为
∴点P到直线l的距离为
利用向量投影求解距离主要是运用距离的几何属性，而上述利用距离的最小性求解则主要是运用代数方法.
问题2：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小
归纳总结
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，则点P到直线l的距离为
注意：相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
例1:四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．
解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，
＝(0，－4，4)．
＝(－2，0，4)，＝(0，－4，4)，
∴·＝16，
∴在上的投影的长度为＝＝2.
所以点B到直线PD的距离为
d＝＝＝2.
例1:四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．
归纳总结
利用公式d＝求点到直线的距离的步骤：
直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．
1.已知 ， ， ，则点 到直线 的距离为( @38@ )
A. B. C. D.
2.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点
P(4,3,2)到l的距离为____.
3.Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点
P到斜边AB的距离是____.
A
3
根据今天所学，回答下列问题：
1.点到直线的距离公式是什么？如何推导？(共14张PPT)
3.4.3 课时2
平面与平面的夹角
1.会用向量法求二面角的大小.
2.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系.
问题1：两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？
我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β所成的角.
平面α与平面β相交，形成四个二面角，
区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面所成的角的范围是
问题2：二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
如图，过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α于点A，作PB⊥β于点B，
设平面PAB交直线l于点O，连接AO，BO，
不难证明：l⊥平面PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.
则 (或 )是平面α的一个法向量， (或 )是平面β的一个法向量.
∵在四边形PAOB中，∠PAO=∠PBO=
归纳总结
一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2)).
例1:如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值．
解：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A -xyz，
则S(0，0，1)，D，C(1，1，0)，B(0，1，0)，
∴＝＝(1，1，－1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
令z＝1，得n＝(2，－1，1)．
易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1，0，0)，
∴cos 〈，n〉＝＝.
设平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角为θ，则cos θ＝.
例1:如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值．
归纳总结
利用向量法求二面角的步骤:
（1）建立空间直角坐标系；
（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
（3）求两个法向量的夹角；
（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
（5）确定二面角的大小.
例2:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上，
AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长.
解：∵AB⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角为
例2:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上，
AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长.
归纳总结
求解与二面角有关的线段长度问题，涉及到的两直线的方向向量所成的角是二面角的平面角或其补角要结合实际图形来确定.
1.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定
D
D
3.如图，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC=AB=BD=6，则CD= .
12
根据今天所学，回答下列问题：
1.两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？
2.二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
