8．1 幂的运算
1．同底数幂的乘法
1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点)
2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点)
一、情境导入
问题：2014年9月，一个国际空间站研究小 ( http: / / www.21cnjy.com )组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：这颗行星距离地球多远？(1年＝3.1536×107s)
解答：3×105×3.1536×107×100＝3×3.1536×107×105×102＝9.4608×105×107×102.
问题：“107×105×102 ”等于多少呢？
二、合作探究
探究点一：同底数幂的乘法
【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法
计算：(1)23×24×2；
(2)－a3·(－a)2·(－a)3；
(3)mn＋1·mn·m2·m.
解析：(1)根据同底数幂的乘 ( http: / / www.21cnjy.com )法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法
计算：
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；
(2)(x－y)2·(y－x)5.
解析：将底数看成一个整体进行计算．
解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
探究点二：幂的运算性质1的运用
【类型一】 运用同底数幂的乘法求代数式的值
若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解．
解：∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．
【类型二】 同底数幂的乘法法则的逆用
已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．
解析：把am＋n变成am·an，代入求值即可．
解：∵am＝3，an＝21，∴am＋n＝am·an＝3×21＝63.
方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把am＋n变成am×an.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
三、板书设计
1．同底数幂的乘法
2．幂的运算性质1：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表 ( http: / / www.21cnjy.com )现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”8．1 幂的运算
2．幂的乘方与积的乘方
1．理解幂的运算性质2，掌握幂的乘方的运算；(重点)
2．理解幂的运算性质3，掌握积的乘方的运算并能运用其解决实际问题．(重点、难点)
一、情境导入
1.填空：
(1)同底数幂相乘，________不变，指数________；
(2)a2·a3＝________；10m×10n＝________；
(3)(－3)7×(－3)6＝________；
(4)a·a2·a3＝________；
(5)(23)2＝2( )；(x4)5＝x( )；(2100)3＝2( )．
2.计算(22)3；(24)3；(102)3.
问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？
(2)观察计算结果，你能发现什么规律？
(3)你能推导一下(am)n的结果吗？请试一试．
二、合作探究
探究点一：幂的乘方
【类型一】 直接应用幂的运算性质2进行计算
计算：
(1)(a3)4; (2)(xm－1)2；
(3)[(24)3]3; (4)[(m－n)3]4.
解析：直接运用(am)n＝amn计算即可．
解：(1)(a3)4＝a3×4＝a12；
(2)(xm－1)2＝x2(m－1)＝x2m－2；
(3)[(24)3]3＝24×3×3＝236；
(4)[(m－n)3]4＝(m－n)12.
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 方程与幂的乘方的应用
已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第11题
【类型三】 根据幂的乘方的关系，求代数式的值
已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式x＋y的值为________．
解析：由2x＝8y＋1，9y＝3x－9 ( http: / / www.21cnjy.com )得2x＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式x＋y＝7＋3＝10.
方法总结：根据幂的乘方的逆运算进行转化，得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式的值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第11题
探究点二：积的乘方
【类型一】 含积的乘方的混合运算
计算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．
解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型二】 积的乘方在实际中的应用
太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)
解析：将R＝6×105千米代入V＝πR3，即可求得答案．
解：∵R＝6×105千米，∴V＝πR3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．
答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．
【类型三】 利用积的乘方比较数的大小
试比较大小：213×310与210×312.
解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.
方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第12题
三、板书设计
1．幂的乘方
幂的运算性质2：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
2．积的乘方
幂的运算性质3：积的乘方等于各因式乘方的积．
(ab)n＝anbn(n是正整数)．
幂的乘方和积的乘方的探究方式与上一 ( http: / / www.21cnjy.com )课时相似，因此在教学中可以就此展开教学．在探究问题的过程中，进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得对新知识的感性认识，进而理解运用8．1 幂的运算
3．同底数幂的除法
第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法
1．理解零次幂、负整数次幂的概念及性质；(重点)
2．会用科学记数法表示小于1的数．(重点)
一、情境导入
同底数幂的除法公式为am÷an＝am－n ( http: / / www.21cnjy.com )，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？
二、合作探究
探究点一：零次幂
若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )
A．x≥6 B．x≤6
C．x≠6 D．x＝6
解析：∵(x－6)0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故选C.
方法总结：本题考查的是零次幂，非0数的零次幂等于1，注意零次幂的底数不能为0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：负整数次幂
【类型一】比较数的大小
若a＝(－)－2，b＝(－1)－1，c＝(－)0，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：∵a＝(－)－2＝(－)2＝，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－)0＝1，∴a＞c＞b.故选B.
方法总结：关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型二】 零次幂与负整数次幂中底数的取值范围
若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2 D．x＜2
解析：根据题意，若(x－3)0有意义，则x ( http: / / www.21cnjy.com )－3≠0，即x≠3.(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2，所以x≠3且x≠2.故选B.
方法总结：任意非零数的零次幂为1，底数不能为零．
【类型三】 含负整数次幂、零次幂与绝对值的混合运算
计算：－22＋(－)－2＋(2015－π)0－|2－|.
解析：分别根据有理数的乘方、零次幂、负整数次幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
解：－22＋(－)－2＋(2015－π)0－|2－|＝－4＋4＋1－2＋＝－1.
方法总结：熟练掌握有理数的乘方、零次幂、负整数次幂及绝对值的性质是解答此题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点三：用科学记数法表示绝对值小于1的数
【类型一】 用负整数次幂表示绝对值小于1的数
2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为( )
A．1.06×10－4 B．1.06×10－5
C．10.6×10－5 D．106×10－6
解析：0.000106＝1.06×10－4，故选A.
方法总结：绝对值小于1的正数也可以利用科学 ( http: / / www.21cnjy.com )记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数次幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 将用科学记数法表示的数还原为原数
用小数表示下列各数：
(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．零次幂
任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a0＝1(a≠0)．
2．负整数次幂
任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数．即a－p＝(a≠0，p是正整数)．
3．用科学记数法表示绝对值小于1的数
从本节课的教学过程来看，结 ( http: / / www.21cnjy.com )合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生的学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量。
