2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 圆与圆位置关系是（ ）
A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交
4. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ）
A. 0.25m B. 0.5m C. 1m D. 2m
7. 已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知EF是棱长为8正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A. B.
C. 以为直径的圆与相切 D.
11. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A 直线恒过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线，的交点在定圆上
D. 若为中点，则的最小值为
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线的准线方程为______.
13. 已知空间中三点，则点到直线的距离为__．
14. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线方程；
（2）若点到直线的距离为2，求直线的方程．
16. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
17. 已知圆圆心在直线上，且经过点和.
（1）求圆的标准方程；
（2）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程．
18. 如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点和，点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求内切圆面积的最大值；
（3）设，，面积分别为，，．求证：为定值．2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体期中联考
高二年级数学学科试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.
【答案】D
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】BC
10.
【答案】CD
11.
【答案】ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.
【答案】
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）求出交点坐标，由平行设的方程为，代入交点坐标求解可得．
（2）分类讨论，判断斜率不存在的直线是否满足题意，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求解．
【小问1详解】
由，求得，
可得两直线和的交点为,
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为．
【小问2详解】
当的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为2．
当的斜率存在时，设直限的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
16.
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果；
（2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
点为的中点，，
，
．
【小问2详解】
，由（1）得
．
17.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法设圆的一般方程，即可求解；
（2）因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切， 利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求.
【小问1详解】
设圆的方程为，
可得解得
所以圆的方程为，即圆的标准方程为；
【小问2详解】
圆关于轴对称方程是，
设的方程为，即，
因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切，
所以对称圆心到的距离为圆的半径1，
则，
从而可得，
故光线所在直线的方程是或．
18.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设中点为，连接,．证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）取中点记为，连结,，由线面垂直的判定定理证明平面即可；
（3）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再由线面角公式计算即可.
【小问1详解】
设中点为，连接，．如图①所示，
，分别为，中点，
且，
且，
即四边形为平行四边形，
又平面,平面，
平面.
【小问2详解】
取中点记为，连结,，如图②所示，
由等腰三角形得：,
,且平面,
平面,
平面,
【小问3详解】
由（2）得，为平面与平面所成二面角的平面角，
设则，则，
即平面与平面所成二面角的平面角为
如图建立空间直角坐标系，
,
设,设平面的法向量为，
由取，则，
且
令与平面所成线面角为，
由,
得：
解得：（舍去）,
所以.
图①图②
19.
【解析】
【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程，求得方程组的解即可；
（2）先将面积表示成，又，设所在直线方程为，直曲联立结合韦达定理，即可求出的最大值，由此可求出的最大值，即可求解.
（3）设，，，通过直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理，先把三角形的面积都用、、表示，再利用、，把变量都用表示，即可求解.
【小问1详解】
将点和代入椭圆方程得解得
则椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
周长为，设内切圆半径为，内切圆面积为，
则，又，
设所在直线方程为，与椭圆方程联立得：
，所以
令，（时取最大值），
所以，，所以，
即内切圆面积的最大值为.
【小问3详解】
设，，，
因为点在椭圆上，所以，即．
由（1）得，，
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得，
同理得：，
所以
.
故为定值．
