专项复习提升（二） 全等三角形（学生版+教师版）

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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（2024河南鹤壁·期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
【答案】A
【分析】由已知条件可知，该玻璃为三角形，可以根据这4块玻璃中的条件，结合全等三角形判定定理解答此题．
【详解】A选项带①②去，符合三角形ASA判定，选项A符合题意；
B选项带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项B不符合题意；
C选项带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项C不符合题意；
D选项带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项D不符合题意；
故此题答案为A．
2．（2024河南洛阳·期末）位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可利用证明，B选项不符合题意；
若添加，可借助证明，C选项不符合题意；
若添加，可借助证明，D选项不符合题意；
故此题答案为A．
3．（2024河南郑州河南实验中学·期末）已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【分析】根据三角形判定方法判断即可解答．
【详解】解：甲与不符合两边对应相等，且夹角相等，
∴甲和已知三角形不全等；
乙与符合两边对应相等，且夹角相等，
∴根据可判定乙和全等；
丙与符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，
∴根据可判定丙和全等．
故此题答案为B．
4．（2024河南南阳·期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）

A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短
【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：点O为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和中，
，
，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故此题答案为B．
5．（2024河南焦作·期末）如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，可得，再根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
A．若添加，则满足边边角，无法判定，故本选项符合题意；
B．若添加，可利用角边角判定，故本选项不符合题意；
C．若添加，可利用角角边判定，故本选项不符合题意；
D．若添加，可利用边角边判定，故本选项不符合题意；
故此题答案为A．
6．（2024河南南阳·期末）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD 的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．A SA
【答案】B
【分析】利用基本作图得到OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：由作法得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，‘
根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
7．（2024河南郑州·期末）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作图过程可以证明，进而可得结论．
【详解】∵，
在Rt和Rt中，
，
∴，
∴，
∴射线就是的平分线．
故此题答案为C．
8．（2024河南郑州河南实验中学·期末）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是(　　)
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】A
【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD，
∵AD=30cm，
∴CB=30cm．
故此题答案为A.
9．（2024河南郑州·期末）如图，，点E 是线段的中点，连接 恰好平分，下列说法不正确的是（ ）
A． B．线段 是 的中线
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质判断A选项；根据中点的定义判断B选项；延长AE，交于点F，证明，然后结合等角对等边判断C选项，最后利用三角形三边关系判断D选项即可．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确；
∵点E 是线段的中点，
∴，即线段 是 的中线，故B选项正确；
延长AE，交于点F，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故C选项正确；
∵，
∴，故D选项不正确；
故此题答案为D．
10．（2024河南郑州·期末）如图，已知在中，，，点为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（ ）
A．3 B．3或5 C．3或 D．5
【答案】C
【分析】用的长度减去的长度，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴；
当时
∵，是的中点，
∴，解得，
∵，
∴，即，解得；
当时
，解得，
∵，
∴，即，解得，
故此题答案为．
11．（2024河南郑州·期末）如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段
【答案】AB∥EF（答案不唯一）
【分析】利用全等三角形的性质得∠B=∠F(或∠ACB=∠EDF),然后根据平行线的判定即可解答．
【详解】∵△ABC≌△EFD，
∴∠B=∠F，∠ACB=∠EDF，
∴AB∥EF，AC∥DE
12．（2024河南新乡·期末）如图，若则 °．
【答案】115
【分析】先根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵，
∴．
在中，∵，，
∴
13．（2024河南新乡·期末）如图，，，若要证明，需要补充的个条件是 ．（写出一个即可）
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形判定定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵
添加利用即可证明；
添加利用即可证明；
添加利用即可证明．
故此题答案为：（答案不唯一）．
14．（2024河南洛阳·期末）回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是 ．

【答案】/边边边
【分析】根据作图过程可知，两个三角形的三条边对应相等，即可得出结果．
【详解】解：如图，由作图可知：

，
∴；
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握证明两个三角形全等．是解题的关键．
15．（2024河南开封·期末）如图，中，两直角边和的长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】25
【分析】证明，可得到AF和FE的长度，分别计算出正方形和的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵ 四边形是正方形，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵ ，
∴
∴，，
∴,,
∴,
故此题答案为：25．
【关键点拨】此题考查正方形、全等三角形和直角三角形的性质，证明是解此题的关键．
16．（2024河南鹤壁·期末）已知：如图，为上一点，点，分别在两侧，，，．求证：．

【答案】详见解析
【分析】由全等三角形的判定定理证得，则该全等三角形的对应边相等，即．
【详解】证明：∵，
，
在和中，
，
，
.
【知识归纳】三角形全等定理：
SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形．
17．（2024河南洛阳·期末）如图，点A，，，在同一条直线，，．有下列三个条件：①，②，③．
(1)请在上述三个条件中只选取其中一个，使得，写出你选的条件并证明；
(2)求证：．
【答案】(1)选③，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解此题的关键；
（1）由，，再选择两边所夹的角相等，再证明全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再证明两直线平行即可．
【详解】（1）解：选择③，
在与中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
18．（2024河南焦作·期末）如图点A，C在直线m上，点 D，E，F在直线n上，小华想知道和 是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连接，再找出的中点 O，然后连接并延长和直线m相交于点 B，经过测量，他发现．因此他得出结论：和互补．以下是他的想法，请填空补全：

解：因为点O是的中点
所以 （ ）
又因为（ ）
所以（ ）
所以 （ ）
所以 （ ）
所以（ ）
【答案】见解析
【分析】由“”可证，可得，可证，可得结论．
【详解】解：因为点O是的中点
所以（中点的概念）
又因为（对顶角相等）
所以
所以（全等三角形的对应角相等）
所以（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
19．（2024河南开封·期末）如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明它的道理．
【答案】见解析.
【分析】AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题．
【详解】解：在△ACD和△ACB中，
AD=AB，CD=CB ，AC＝AC．
∴△ACD≌△ACB．
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AE是∠DAB的平分线.
【关键点拨】此题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
20．（2024河南郑州·期末）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案．
课题 测凉亭与游船之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C处②再往前走相同的距离， 到达D点；③他到达D点后向左转90度直行， 当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来， 此时小明位于点E处
测量数据 米，米，米
(1)凉亭与游船之间的距离是 米；
(2)请你说明小明做法的正确性．
【答案】(1)20
(2)小明的方案是正确的，理由见详见
【分析】（1）根据题意可直接得出凉亭与游船之间的距离米．
（2）利用证明即可得出答案．
【详解】（1）解：凉亭与游船之间的距离米
（2）小明做法的正确的：理由如下：
由题意可知， ，；，
在和中，
∴．
∴米
即测得的长就是凉亭与游船之间的距离．
因此，小明的方案是正确的．
21．（2024河南新乡·期末）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．
【答案】见解析
【分析】延长到点G，使，连接，证明，推出，结合证明，进而得出，即可证明．
【详解】证明：延长到点G，使，连接，
∵为中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（2024河南南阳·期末）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴，
∵，
∴．第一步，
又，，
∴第二步，
∴第三步，

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二；
(2)见解析.
【分析】（1）根据证明过程即可求解；
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误；
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
23．（2024河南郑州·期末）在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量）.
小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度．
(1)小颖的作法你同意吗？并说明理由；
(2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形．
【答案】见详解
【分析】（1）只需要利用ASA证明△ABC≌△DEC即可；
（2）过点A作射线AP，在线段AP上取两点C，D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长．
【详解】（1）解：同意小颖的作法，理由如下：
∵DN⊥AD，AB⊥AM，∴∠CDE=∠CAB=90°，
又∵∠ACB=∠DCE，AC=DC，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴DE=AB，
∴同意小颖的作法；
（2）解：过点A作射线AP，在线段AP上取两点C，D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长.
∵EC=BC，AC=DC，∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB=DE.
24．（2024河南商丘·期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC BP=(10 2t)cm，
故此题答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10 2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【关键点拨】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
25．（2024河南郑州·期末）如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：．
【提出问题】
小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围．
【解决问题】
（1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法：
如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围．
你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由．
【经验迁移】
（2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）延长至E，使，连接，易证，得，由三角形三边关系即可求解；
（2）延长到点G，使，连接，由得.再由证明，则有，由三角形三边关系即可证明．
【详解】（1）解：如图2，延长至E，使，连接，
是中线，，
又，，，
，，∴；
（2）如图3，延长到点G，使，连接，
，，
是的中点，，在和中，
，，
，．
【模型归纳】倍长中线法解全等三角形的基本模型
倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
基本模型 模型拓展
考点二 角平分线的性质
1．（2024河南焦作·期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行判断即可．
【详解】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故此题答案为C．
2．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作于H，
由题中作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为A．
3．（2024河南郑州河南实验中学·期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理得到是的平分线，再计算即可．
【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同，
点到射线、的距离相等，
射线是的平分线，
，
，
，
故此题答案为C．
4．（2024河南南阳·期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故此题答案为A．
5．（2024河南新乡·期末）如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，，
，
，
∴的面积为：，
故此题答案为A．
6．（2024河南郑州·期末）如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案，方案一铺设光缆长为（D为的中点）；方案二铺设光缆长为（O为三边的垂直平分线的交点）．关于两个方案说法正确的是（ ）
A．方案一铺设光缆长较短 B．方案二铺设光缆长较短
C．两种方案铺设光缆长一样 D．无法比较两个方案铺设光缆长短
【答案】B
【分析】设等边三角形的边长为，对于方案一，根据D为的中点，利用三线合一性质，结合勾股定理可求出；对于方案二，根据O为等边三角形三边的垂直平分线的交点，利用三线合一性质，结合勾股定理可求出，然后进行比较即可得解．
【详解】解：设等边三角形的边长为，则
方案一： 是等边三角形，
，，
D为的中点，
，，
，
，
方案二： O为等边三角形三边的垂直平分线的交点，
，
，
在中，，
，
．
同理可得，
，
，
，
方案二铺设光缆长较短．
故此题答案为B．
7．（2024河南郑州·期末）把两个同样大小的初中专用三角尺与像如图所示那样放置，，，M是与的交点．直接测得的长度为，则点M到AB的距离是 ．
【答案】4.5
【分析】过点M作于点E，证明，即可得到点M到的距离．
【详解】解：过点M作于点E，
∵，
∴
∴
∵，
∴
8．（2024河南开封·期末）如图，是的两个外角的角平分线，且下列结论中正确的个数有 个．
①； ②； ③；④ ．
【答案】3
【分析】过O作于E，根据角平分线的性质得出求出，求出，根据全等三角形的判定得出，，再逐个判断即可．
【详解】过O作于E
∵的角平分线交于点O，
∴O在的角平分线上，即平分，故①正确；
在和中
（HL）
同理
，故④正确；
∵平分平分
，
即，故②正确；
由④已知
如果③成立，将③代入④得：
解得：，显然不成立，故③不成立；
即正确的有：①②④，共3个，
故此题答案为：3
【关键点拨】此题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等时解此题个关键．
9．（2024河南焦作·期末）（1）请写出角平分线的性质定理，并给予证明．
（2）如图，在中，平分交于点，于点，若，，，则的面积为______．
【答案】（1）在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等，见解析；（2）9
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，直角三角形的特征；
（1）写出定理的已知、求证，用证明，即可求解；
（2）过作交于，由角平分线的性质定理得，由外角的性质得，由直角三角形的特征得，由三角形内角和定理可得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解；
掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：（1）角平分线的性质定理：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等；
已知：如图，平分，，；
证明：．
证明：平分，，，
，，
在和中
，
（），
．
（2）如图，过作交于，
平分，，
，，
，，
，
，
，
．
10．（2024河南洛阳·期末）在四边形中，．，点、分别在边、上，且平分．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解此题的关键；
（1）过点A作于点G，根据角平分线性质结合题意得，再根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证出，结合，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，过A作于，
平分，，
．
，
，
又∵，
；
∴平分；
（2）在和中，
，
，
，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
11．（2024河南南阳·期末）如图，我们将对折，使重合，折痕为，在折痕上取点E，作分别垂直边，可得，由此我们得到命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”．
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式： ．
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，平分，点E是上一点， ．
求证： ．
证明：…
【答案】(1)如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等
(2)于点G，于点F；；证明见解析
【分析】此题主要考查了命题、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；
（1）根据如果的后面是条件，那么的后面是结论即可解答；
（2）根据题意补充完整“已知”和“求证”，然后作分别垂直边，然后根据全等三角形的判定与性质即可解答．
【详解】（1）解：如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等；
故此题答案为：如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等
（2）解：已知：如图，平分，点E是上一点，于点G，于点F．
求证：．
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故此题答案为：于点G，于点F；．
12．（2024河南南阳·期末）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故此题答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【关键点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解此题的关键．
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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（2024河南鹤壁·期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
2．（2024河南洛阳·期末）位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是( )
A． B． C． D．
3．（2024河南郑州河南实验中学·期末）已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
4．（2024河南南阳·期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）

A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
5．（2024河南焦作·期末）如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024河南南阳·期末）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD 的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．A SA
7．（2024河南郑州·期末）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )．
A． B． C． D．
8．（2024河南郑州河南实验中学·期末）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是(　　)
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
9．（2024河南郑州·期末）如图，，点E 是线段的中点，连接 恰好平分，下列说法不正确的是（ ）
A． B．线段 是 的中线
C． D．
10．（2024河南郑州·期末）如图，已知在中，，，点为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（ ）
A．3 B．3或5 C．3或 D．5
11．（2024河南郑州·期末）如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段
12．（2024河南新乡·期末）如图，若则 °．
13．（2024河南新乡·期末）如图，，，若要证明，需要补充的个条件是 ．（写出一个即可）
14．（2024河南洛阳·期末）回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是 ．

15．（2024河南开封·期末）如图，中，两直角边和的长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2024河南鹤壁·期末）已知：如图，为上一点，点，分别在两侧，，，．求证：．

17．（2024河南洛阳·期末）如图，点A，，，在同一条直线，，．有下列三个条件：①，②，③．
(1)请在上述三个条件中只选取其中一个，使得，写出你选的条件并证明；
(2)求证：．
18．（2024河南焦作·期末）如图点A，C在直线m上，点 D，E，F在直线n上，小华想知道和 是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连接，再找出的中点 O，然后连接并延长和直线m相交于点 B，经过测量，他发现．因此他得出结论：和互补．以下是他的想法，请填空补全：

解：因为点O是的中点
所以 （ ）
又因为（ ）
所以（ ）
所以 （ ）
所以 （ ）
所以（ ）
19．（2024河南开封·期末）如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明它的道理．
20．（2024河南郑州·期末）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案．
课题 测凉亭与游船之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C处②再往前走相同的距离， 到达D点；③他到达D点后向左转90度直行， 当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来， 此时小明位于点E处
测量数据 米，米，米
(1)凉亭与游船之间的距离是 米；
(2)请你说明小明做法的正确性．
21．（2024河南新乡·期末）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．
22．（2024河南南阳·期末）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴，
∵，
∴．第一步，
又，，
∴第二步，
∴第三步，

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
23．（2024河南郑州·期末）在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量）.
小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度．
(1)小颖的作法你同意吗？并说明理由；
(2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形．
24．（2024河南商丘·期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
25．（2024河南郑州·期末）如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：．
【提出问题】
小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围．
【解决问题】
（1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法：
如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围．
你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由．
【经验迁移】
（2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：．
考点二 角平分线的性质
1．（2024河南焦作·期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
2．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2024河南郑州河南实验中学·期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024河南南阳·期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
5．（2024河南新乡·期末）如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．（2024河南郑州·期末）把两个同样大小的初中专用三角尺与像如图所示那样放置，，，M是与的交点．直接测得的长度为，则点M到AB的距离是 ．
7．（2024河南开封·期末）如图，是的两个外角的角平分线，且下列结论中正确的个数有 个．
①； ②； ③；④ ．
8．（2024河南焦作·期末）（1）请写出角平分线的性质定理，并给予证明．
（2）如图，在中，平分交于点，于点，若，，，则的面积为______．
9．（2024河南洛阳·期末）在四边形中，．，点、分别在边、上，且平分．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
10．（2024河南南阳·期末）如图，我们将对折，使重合，折痕为，在折痕上取点E，作分别垂直边，可得，由此我们得到命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”．
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式： ．
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，平分，点E是上一点， ．
求证： ．
证明：…
11．（2024河南南阳·期末）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

参考答案
1．【答案】A
【分析】由已知条件可知，该玻璃为三角形，可以根据这4块玻璃中的条件，结合全等三角形判定定理解答此题．
【详解】A选项带①②去，符合三角形ASA判定，选项A符合题意；
B选项带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项B不符合题意；
C选项带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项C不符合题意；
D选项带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项D不符合题意；
故此题答案为A．
2．【答案】A
【分析】此题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可利用证明，B选项不符合题意；
若添加，可借助证明，C选项不符合题意；
若添加，可借助证明，D选项不符合题意；
故此题答案为A．
3．【答案】B
【分析】根据三角形判定方法判断即可解答．
【详解】解：甲与不符合两边对应相等，且夹角相等，
∴甲和已知三角形不全等；
乙与符合两边对应相等，且夹角相等，
∴根据可判定乙和全等；
丙与符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，
∴根据可判定丙和全等．
故此题答案为B．
4．【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：点O为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和中，
，
，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故此题答案为B．
5．【答案】A
【分析】根据，可得，再根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
A．若添加，则满足边边角，无法判定，故本选项符合题意；
B．若添加，可利用角边角判定，故本选项不符合题意；
C．若添加，可利用角角边判定，故本选项不符合题意；
D．若添加，可利用边角边判定，故本选项不符合题意；
故此题答案为A．
6．【答案】B
【分析】利用基本作图得到OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：由作法得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，‘
根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
7．【答案】C
【分析】根据作图过程可以证明，进而可得结论．
【详解】∵，
在Rt和Rt中，
，
∴，
∴，
∴射线就是的平分线．
故此题答案为C．
8．【答案】A
【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD，
∵AD=30cm，
∴CB=30cm．
故此题答案为A.
9．【答案】D
【分析】根据平行线的性质判断A选项；根据中点的定义判断B选项；延长AE，交于点F，证明，然后结合等角对等边判断C选项，最后利用三角形三边关系判断D选项即可．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确；
∵点E 是线段的中点，
∴，即线段 是 的中线，故B选项正确；
延长AE，交于点F，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故C选项正确；
∵，
∴，故D选项不正确；
故此题答案为D．
10．【答案】C
【分析】用的长度减去的长度，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴；
当时
∵，是的中点，
∴，解得，
∵，
∴，即，解得；
当时
，解得，
∵，
∴，即，解得，
故此题答案为．
11．【答案】AB∥EF（答案不唯一）
【分析】利用全等三角形的性质得∠B=∠F(或∠ACB=∠EDF),然后根据平行线的判定即可解答．
【详解】∵△ABC≌△EFD，
∴∠B=∠F，∠ACB=∠EDF，
∴AB∥EF，AC∥DE
12．【答案】115
【分析】先根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵，
∴．
在中，∵，，
∴
13．【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形判定定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵
添加利用即可证明；
添加利用即可证明；
添加利用即可证明．
故此题答案为：（答案不唯一）．
14．【答案】/边边边
【分析】根据作图过程可知，两个三角形的三条边对应相等，即可得出结果．
【详解】解：如图，由作图可知：

，
∴；
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握证明两个三角形全等．是解题的关键．
15．【答案】25
【分析】证明，可得到AF和FE的长度，分别计算出正方形和的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵ 四边形是正方形，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵ ，
∴
∴，，
∴,,
∴,
故此题答案为：25．
【关键点拨】此题考查正方形、全等三角形和直角三角形的性质，证明是解此题的关键．
16．【答案】详见解析
【分析】由全等三角形的判定定理证得，则该全等三角形的对应边相等，即．
【详解】证明：∵，
，
在和中，
，
，
.
【知识归纳】三角形全等定理：
SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形．
17．【答案】(1)选③，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解此题的关键；
（1）由，，再选择两边所夹的角相等，再证明全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再证明两直线平行即可．
【详解】（1）解：选择③，
在与中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
18．【答案】见解析
【分析】由“”可证，可得，可证，可得结论．
【详解】解：因为点O是的中点
所以（中点的概念）
又因为（对顶角相等）
所以
所以（全等三角形的对应角相等）
所以（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
19．【答案】见解析.
【分析】AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题．
【详解】解：在△ACD和△ACB中，
AD=AB，CD=CB ，AC＝AC．
∴△ACD≌△ACB．
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AE是∠DAB的平分线.
【关键点拨】此题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
20．【答案】(1)20
(2)小明的方案是正确的，理由见详见
【分析】（1）根据题意可直接得出凉亭与游船之间的距离米．
（2）利用证明即可得出答案．
【详解】（1）解：凉亭与游船之间的距离米
（2）小明做法的正确的：理由如下：
由题意可知， ，；，
在和中，
∴．
∴米
即测得的长就是凉亭与游船之间的距离．
因此，小明的方案是正确的．
21．【答案】见解析
【分析】延长到点G，使，连接，证明，推出，结合证明，进而得出，即可证明．
【详解】证明：延长到点G，使，连接，
∵为中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】(1)二；
(2)见解析.
【分析】（1）根据证明过程即可求解；
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误；
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
23．【答案】见详解
【分析】（1）只需要利用ASA证明△ABC≌△DEC即可；
（2）过点A作射线AP，在线段AP上取两点C，D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长．
【详解】（1）解：同意小颖的作法，理由如下：
∵DN⊥AD，AB⊥AM，∴∠CDE=∠CAB=90°，
又∵∠ACB=∠DCE，AC=DC，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴DE=AB，
∴同意小颖的作法；
（2）解：过点A作射线AP，在线段AP上取两点C，D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长.
∵EC=BC，AC=DC，∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB=DE.
24．【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC BP=(10 2t)cm，
故此题答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10 2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【关键点拨】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
25．【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）延长至E，使，连接，易证，得，由三角形三边关系即可求解；
（2）延长到点G，使，连接，由得.再由证明，则有，由三角形三边关系即可证明．
【详解】（1）解：如图2，延长至E，使，连接，
是中线，，
又，，，
，，∴；
（2）如图3，延长到点G，使，连接，
，，
是的中点，，在和中，
，，
，．
【模型归纳】倍长中线法解全等三角形的基本模型
倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
基本模型 模型拓展
考点二 角平分线的性质
1．【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行判断即可．
【详解】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故此题答案为C．
2．【答案】A
【分析】基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作于H，
由题中作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为A．
3．【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理得到是的平分线，再计算即可．
【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同，
点到射线、的距离相等，
射线是的平分线，
，
，
，
故此题答案为C．
4．【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故此题答案为A．
5．【答案】A
【分析】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，，
，
，
∴的面积为：，
故此题答案为A．
6．【答案】4.5
【分析】过点M作于点E，证明，即可得到点M到的距离．
【详解】解：过点M作于点E，
∵，
∴
∴
∵，
∴
7．【答案】3
【分析】过O作于E，根据角平分线的性质得出求出，求出，根据全等三角形的判定得出，，再逐个判断即可．
【详解】过O作于E
∵的角平分线交于点O，
∴O在的角平分线上，即平分，故①正确；
在和中
（HL）
同理
，故④正确；
∵平分平分
，
即，故②正确；
由④已知
如果③成立，将③代入④得：
解得：，显然不成立，故③不成立；
即正确的有：①②④，共3个，
故此题答案为：3
【关键点拨】此题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等时解此题个关键．
8．【答案】（1）在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等，见解析；（2）9
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，直角三角形的特征；
（1）写出定理的已知、求证，用证明，即可求解；
（2）过作交于，由角平分线的性质定理得，由外角的性质得，由直角三角形的特征得，由三角形内角和定理可得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解；
掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：（1）角平分线的性质定理：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等；
已知：如图，平分，，；
证明：．
证明：平分，，，
，，
在和中
，
（），
．
（2）如图，过作交于，
平分，，
，，
，，
，
，
，
．
9．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解此题的关键；
（1）过点A作于点G，根据角平分线性质结合题意得，再根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证出，结合，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，过A作于，
平分，，
．
，
，
又∵，
；
∴平分；
（2）在和中，
，
，
，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．【答案】(1)如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等
(2)于点G，于点F；；证明见解析
【分析】此题主要考查了命题、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；
（1）根据如果的后面是条件，那么的后面是结论即可解答；
（2）根据题意补充完整“已知”和“求证”，然后作分别垂直边，然后根据全等三角形的判定与性质即可解答．
【详解】（1）解：如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等；
故此题答案为：如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等
（2）解：已知：如图，平分，点E是上一点，于点G，于点F．
求证：．
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故此题答案为：于点G，于点F；．
11．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故此题答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【关键点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解此题的关键．
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