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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法
1．（2024河南郑州·期末）下列的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河南郑州·期末）计算（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河南信阳·期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
4．（2024河南新乡·期末）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．， B．，7 C．2， D．2，7
5．（2024河南平顶山·期末）若，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024河南南阳·期末）若，则的取值分别为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024河南南阳·期末）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2024河南南阳·期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
9．（2024河南洛阳·期末）计算： ．
10．（2024河南开封·期末） ．
11．（2024河南商丘·期末）已知，则的值为 ．
12．（2024河南南阳·期末）已知，，则，的大小关系是 （请用字母表示，并用“＜”连接）．
13．（2024河南焦作·期末）我们知道，若，则；同样的道理，若 ，则 这样我们定义一种新的运算，如果，则．
(1)根据上述定义计算： ， ※ ；
(2)若，，，试求a，b，c之间的等量关系；
(3)若或，则m还可以表示为 ．
14．（2024河南郑州·期末）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务．
先化简，再求值： ，其中 ，
解：原式 第一步
第二步
=12x-8y … 第三步
当，时，原式 … 第四步
任务：
(1)第一步运算用到了乘法公式： （写出1种即可）；
(2)以上步骤从第 步开始出现了错误；
(3)请你写出正确的解答过程．
15．（2024河南南阳·期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
(1)求计划种植草坪的面积；
(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
考点二 乘法公式
1．（2024河南郑州·期末）下列两个多项式相乘，不能用平方差公式进行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河南南阳·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2024河南郑州·期末）a，b，c 是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，面积记作，分别以a，c 为长和宽作长方形，面积记作，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较、的大小
4．（2024河南焦作·期末）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1）然后将剩余的部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
B．
C． D．
5．（2024河南商丘·期末）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ）
A．-4 B．16 C．-4或-16 D．4或16
6．（2024河南洛阳·期末）如图1，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是( )
A． B．
C． D．
7．（2024河南驻马店·期末）若是完全平方式，则 ．
8．（2024河南鹤壁·期末）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k＝ ．
9．（2024河南郑州·期末）多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式,则添加的单项式可以是 .(任写一个符合条件的即可)
10．（2024河南焦作·期末）（1）化简：
（2）用简便方法计算：
11．（2024河南郑州·期末）先化简，再求值： ，其中 ， .
12．（2024河南新乡·期末）剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2中阴影部分面积，直接写出之间的等量关系；
(2)根据（1）中的等量关系，已知求的值．
13．（2024河南郑州·期末）为了弘扬尊老敬老的良好风尚，进一步加强对学生的传统美德教育，五一假期之际，某校组织部分学生分批到学校附近的敬老院慰问看望孤寡老人．敬老院里有一位李爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子看望他时，李爷爷都要拿出糖果来招待他们．来个孩子，李爷爷就给这个孩子块糖；来个孩子，李爷爷就给每个孩子块糖；来个孩子，就给每人块糖……
月日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，月日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，月日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，那么李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？请你利用所学知识和方法从“数”和“形”两个方面进行说明．
14．（2024河南焦作·期末）现有若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大正方形，使它的面积等于．
(1)画出拼成的大正方形．
(2)所拼成的大正方形的边长是 ．
(3)由此可以验证的公式为 ．
(4)如图，分别表示边长为的正方形的面积，且三点在一条直线上，若 ，，求图中阴影部分的面积．
15．（2024河南洛阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值．
解：，
，即．
又，
，
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则______；
(2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，（）它们面积和为，边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．
16．（2024河南郑州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．
小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢
某数学兴趣小组的研究过程如下：
【阶段一】
特殊情况探讨：，，，，，……
【阶段二】
一般性探究：同学们想到设是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵① ，
∴除4外，所有能被② 整除的偶数都是智慧数．
∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数．
如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即
……
【阶段三】
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③ 个智慧数外，其余各组都有④ 个智慧数，而且每组中第⑤ 个不是智慧数．
请你完成以下任务：
（1）下列偶数中是智慧数的是 ；
A．2018 B．2022 C．2024 D．2026
（2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整；
（3）请完成【阶段二】“……”部分的研究；
（4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
考点三 因式分解
1．（2024河南周口·期中）对于①，②，从左到右的变形表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是整式乘法运算
C．①是因式分解，②是整式乘法运算
D．①是整式乘法运算，②是因式分解
2．（2024河南平顶山·期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024河南焦作·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024河南周口·期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
5．（2024河南郑州·期末）对任意整数，都（ ）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除
C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除
6．（2024河南郑州河南实验中学·期末）能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．（2024河南驻马店·期中）已知，，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
8．（2024河南南阳·开学摸底）若n为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除
9．（2024河南南阳·开学摸底）已知，，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C． D．
10．（2024河南焦作·期末）把多项式分解因式的结果是 ．
11．（2024河南南阳·期末）若，，则的值是 ．
12．（2024河南平顶山·期末）若 ，则 _______．
13．（2024河南新乡·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式 因式分解的结果是 若取 ，则各个因式的值： 于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式 取 时，用上述方法产生的密码是_______________（写出一个即可）
14．（2024河南河南实验中学·开学摸底）因式分解：
①；
②.
15．（2024河南郑州·期末）数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如：，
请解决以下问题：
(1)将多项式因式分解：_____；
(2)将多项式因式分解；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
16．（2024河南郑州·期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”．
小明对智慧数进行了探究：
，3是智慧数；，5是智慧数；
，7是智慧数；，9是智慧数；
……
小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数．
小明的证明方法如下：
设是正整数，
所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
小明继续对对智慧数进行了探究：
，8是智慧数；，12是智慧数；
，16是智慧数；，20是智慧数；
……
(1)请你帮助小明完成上述探究：
①猜测：________．
②请你对猜测进行证明；
(2)请写出不超过2024的最大的智慧数为________；它能表示为________和________这两个正整数的平方差．
参考答案
考点一 整式的乘法
1．【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方的运算法则逐项排除即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误；
B． ，故该选项错误；
C． ，故该选项错误；
D． ，故该选项正确；
故此题答案为D．
2．【答案】D
【分析】根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
【详解】解：
.故此题答案为D．
3．【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答此题的关键．
4．【答案】A
【分析】此题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故此题答案为A．
5．【答案】D
【详解】解：；；；，
，
，故此题答案为D．
6．【答案】A
【分析】此题考查了单项式除以单项式，根据题意列出式子，然后根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
故此题答案为A．
7．【答案】C
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故此题答案为C．
【关键点拨】此题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
8．【答案】A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答此题的关键．
9．【答案】//1.5
【分析】此题考查零次幂，负整数指数幂．根据零次幂和负整数指数幂分别计算即可解答．
【详解】．
故此题答案为：
10．【答案】/
【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故此题答案为：．
11．【答案】/
【分析】把 转化成的形式，根据同底数幂乘法法则可得 ，把 代入求值即可.
【详解】解：由 ，
得 ，
∴ ，
∴故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
12．【答案】
【分析】此题考查了幂的乘方．把和变成指数为11的两个数，再对底数进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
，
故此题答案为：．
13．【答案】(1)2；3，27
(2)
(3)或（答案不唯一）
【分析】（1）原式利用题中的新定义结合有理数的乘方运算即可求解．
（2）原式利用题中的新定义，把各个算式写成同底数幂，再结合同底数幂的乘法法则即可得到答案．
（3）原式利用题中的新定义，把各个算式写成乘方的形式，等号两边同平方，进而即可得到答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，，
∴，，．
∴．
∴a，b，c之间的等量关系为：．
（3）∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴
14．【答案】(1)或 或完全平方公式或平方差公式
(2)一
(3)，8，正确的解答过程见解析
【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式即可得出答案；
（2）根据去括号法则可知第一步出现了错误；
（3）根据整式的混合运算顺序解答即可，
【详解】（1）解：第一步运算用到了乘法公式或或完全平方公式或平方差公式，
故答案为：或或完全平方公式或平方差公式，
（2）解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误；
故答案为：一，
（3）解：
当，时，
．
15．【答案】(1)计划种植草坪的面积为
(2)种植草坪应投入的资金是243000元
【分析】此题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答此题的关键．
（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；
（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．
【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
（2），，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
考点二 乘法公式
1．【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．，不能用平方差公式计算，符合题意；
B．，可以用平方差公式计算，不符合题意；
C．，可以用平方差公式计算，不符合题意；
D．，可以用平方差公式计算，不符合题意；
故此题答案为A．
2．【答案】B
【分析】先根据乘积二倍项确定出两个数，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．
【详解】解：∵-8x=-2×4 x，
∴m=42=16，
解得m=16．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
3．【答案】B
【分析】利用作差法即可比较大小．
【详解】解：由题可知，
∴(，
∴，
故此题答案为B
4．【答案】B
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项。
【详解】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余的部分面积是，
拼成的矩形面积是，
∴根据剩余的部分面积相等得：，
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2（m-3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）=x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m-3=±1，n+2=0，
解得：m=4或m=2，n=-2，
当m=4，n=-2时，nm=16；
当m=2，n=-2时，nm=4，
则nm=4或16，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解此题的关键．
6．【答案】B
【分析】此题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．根据图1和图2分别用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为，
因此有，
故此题答案为B．
7．【答案】
【分析】根据完全平方公式，得，展开计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
8．【答案】±6
【分析】这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍；
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴，
故此题答案为：．
【关键点拨】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
9．【答案】x4(或2x或-2x)
【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，判断出添加的单项式可以是哪个即可．
【详解】∵x2+1+2x=（x+1）2，
∴添加的单项式可以是2x．
10．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可；
（2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
11．【答案】-3.
【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式运算，合并同类项化简，再代入数据计算即可．
【详解】原式=2xy-1
当 ，时，原式=-3．
12．【答案】(1)
(2)4
【分析】此题考查完全平方差的公式和完全平方和的公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
（1）一种方法是表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用a、b表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示即可得出答案；
（2）根据解析（1）的结论，求出结果即可．
【详解】（1）解：由图知：
图2中阴影部分的面积：或，
∴；
（2）解：∵，
∴根据解析（1）的结论可知，
．
13．【答案】李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数不一样多，理由见解析．
【详解】解：根据题意可得，第一天，个孩子一起看李爷爷，则李爷爷共给块糖；
第三天，个孩子一起去看李爷爷，则李爷爷共给块糖，
第三天有个孩子去看李爷爷，则需给孩子块糖．
∴．
∴李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数不一样多；
如图，先以为边长构造正方形，再该正方形内部分别以、为边构造正方形，则大正方形的面积表示李爷爷第三天给出去的糖，涂色的两个正方形面积和表示李爷爷前两天给出去的糖果总数，由图可得，
∴李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数不一样多．
14．【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）设计一个边长为的正方形即可；
（）根据图形即可求解；
（）通过“大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积”即可验证；
（）先根据正方形的面积公式得，再根据得，然后根据乘法公式，可求出，然后再根据三角形的面积公式可得阴影部分的面积；
【详解】（1）根据题意，如图，
（2）解：根据图形可知，所拼成的大正方形的边长是，
故答案为：；
（3）解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
又∵大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积，
∴大正方形的面积为：，
∴，
故答案为：；
（4）解：∵，，四边形和四边形为正方形，
∴，，，
又∵，，
∴，，
由（）得：，
∴，
∴，
∴．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是完全平方公式变形的应用，掌握、、、、之间的关系是解题的关键．
（1）由可得，再代入可得答案；
（2）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）设大正方形的边长为，正方形的边长为，面积和为，边长和为，
，，
，
，
解得：，
，
，
②，
由①②解得：，
．
16．【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701
【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
（2）根据平方差公式即可求解；
（3）根据平方差公式即可求解；
（4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
【详解】解：（1）A、，
B、，
C、，
D、，
是智慧数的是C．
（2）一般性探究：同学们想到设是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
（3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即．
因为和这两个数的奇偶性相同，
所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，
而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，
可见等式左、右两边不相等，
所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
（4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又，
第2022个智慧数在（组），并且是第1个数，即．
考点三 因式分解
1．【答案】C
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可．
【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法．
故此题答案为C．
【关键点拨】本题主要考查了因式分解和整式乘法的定义，掌握解因式分解是整式乘法的逆运算成为解题的关键．
2．【答案】C
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【详解】解：是乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意；
是乘法运算，不是因式分解，则B不符合题意；
，则C符合题意；
中等号右边不是积的形式，则D不符合题意．
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】根据因式分解的方法，逐项分解即可．
【详解】A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. 故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．【答案】D
【分析】利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n 2＝8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可．
【详解】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故此题答案为：D．
【关键点拨】本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解题关键．
5．【答案】C
【分析】利用平方差公式因式分解得出，和都是的一个因数，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴对任意整数，既能被2整除，又能被4整除，
故此题答案为C．
6．【答案】C
【详解】解：
，
能被整除，
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】首先将所求式子进行因式分解，然后代入即可得解.
【详解】
将，，代入，得
上式=，
故此题答案为：D.
【关键点拨】此题主要考查利用完全平方式进行因式分解求值，熟练掌握，即可解题.
8．【答案】B
【分析】先运用多项式乘多项式和合并同类项对该式进行计算，再运用因式分解进行求解．
【详解】解：
，
该代数式的值一定可以被3整除，
故此题答案为B．
9．【答案】D
【分析】由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可．
【详解】解：因为，，
∴
，
将，代入得：，
故此题答案为D．
10．【答案】
【详解】原式=，故填．
11．【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故此题答案为：6．
【关键点拨】此题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．
12．【答案】
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
13．【答案】 或 或 或 或 或 （任选其一即可）
【分析】此题考查的是因式分解的应用，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先将其因式分解，然后将x和y的值分别代入各个因式中即可求出结论．
【详解】解：
，
当 时，
，
，
∴用上述方法产生的密码是 或 或 或 或 或 ，
故此题答案为 或 或 或 或 或 ．（任选其一即可）
14．【答案】①2；
②.
【详解】解：①原式；
②原式
15．【答案】(1)
(2)
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）利用公式法进行因式分解即可；
（2）利用公式法和提公因式法进行因式分解即可；
（3）先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得，根据题意，可知，因此，即，即可得出结果．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即,
∴是等腰三角形．
16．【答案】(1)①除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；②证明见解析；
(2)2024；505；507
【分析】（1）①猜测：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；②设，且k为整数，根据平方差公式进行因式分解即可证明；
（2）根据（1）中结论可得最大的智慧数，再结合结论可得这两个正整数分别为多少．
【详解】（1）解：（1）①猜测：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
②证明：设，且k为整数，
∵，时，，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
（2）∵除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；
∴不超过2024的最大的智慧数为2024；
，
∴，；
∴这两个数分别为505和507．
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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法
1．（2024河南郑州·期末）下列的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方的运算法则逐项排除即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误；
B． ，故该选项错误；
C． ，故该选项错误；
D． ，故该选项正确；
故此题答案为D．
2．（2024河南郑州·期末）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
【详解】解：
.故此题答案为D．
3．（2024河南信阳·期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答此题的关键．
4．（2024河南新乡·期末）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．， B．，7 C．2， D．2，7
【答案】A
【分析】此题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解．
【详解】解：∵，∴，
由题意得，，，
，，
，或，，a，b的值可能分别是，．故此题答案为A．
5．（2024河南平顶山·期末）若，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：；；；，
，
，故此题答案为D．
6．（2024河南南阳·期末）若，则的取值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了单项式除以单项式，根据题意列出式子，然后根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
故此题答案为A．
7．（2024河南南阳·期末）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故此题答案为C．
【关键点拨】此题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
8．（2024河南南阳·期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答此题的关键．
9．（2024河南洛阳·期末）计算： ．
【答案】//1.5
【分析】此题考查零次幂，负整数指数幂．根据零次幂和负整数指数幂分别计算即可解答．
【详解】．
故此题答案为：
10．（2024河南开封·期末） ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故此题答案为：．
11．（2024河南商丘·期末）已知，则的值为 ．
【答案】/
【分析】把 转化成的形式，根据同底数幂乘法法则可得 ，把 代入求值即可.
【详解】解：由 ，
得 ，
∴ ，
∴故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
12．（2024河南南阳·期末）已知，，则，的大小关系是 （请用字母表示，并用“＜”连接）．
【答案】
【分析】此题考查了幂的乘方．把和变成指数为11的两个数，再对底数进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
，
故此题答案为：．
13．（2024河南焦作·期末）我们知道，若，则；同样的道理，若 ，则 这样我们定义一种新的运算，如果，则．
(1)根据上述定义计算： ， ※ ；
(2)若，，，试求a，b，c之间的等量关系；
(3)若或，则m还可以表示为 ．
【答案】(1)2；3，27
(2)
(3)或（答案不唯一）
【分析】（1）原式利用题中的新定义结合有理数的乘方运算即可求解．
（2）原式利用题中的新定义，把各个算式写成同底数幂，再结合同底数幂的乘法法则即可得到答案．
（3）原式利用题中的新定义，把各个算式写成乘方的形式，等号两边同平方，进而即可得到答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，，
∴，，．
∴．
∴a，b，c之间的等量关系为：．
（3）∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，即，
∴，
∴
14．（2024河南郑州·期末）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务．
先化简，再求值： ，其中 ，
解：原式 第一步
第二步
=12x-8y … 第三步
当，时，原式 … 第四步
任务：
(1)第一步运算用到了乘法公式： （写出1种即可）；
(2)以上步骤从第 步开始出现了错误；
(3)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)或 或完全平方公式或平方差公式 (2)一
(3)，8，正确的解答过程见解析
【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式即可得出答案；
（2）根据去括号法则可知第一步出现了错误；
（3）根据整式的混合运算顺序解答即可，
【详解】（1）解：第一步运算用到了乘法公式或或完全平方公式或平方差公式，
故答案为：或或完全平方公式或平方差公式，
（2）解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误；故答案为：一，
（3）解：
当，时，
．
15．（2024河南南阳·期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
(1)求计划种植草坪的面积；
(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
【答案】(1)计划种植草坪的面积为
(2)种植草坪应投入的资金是243000元
【分析】此题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答此题的关键．
（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；
（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．
【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
（2），，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
考点二 乘法公式
1．（2024河南郑州·期末）下列两个多项式相乘，不能用平方差公式进行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．，不能用平方差公式计算，符合题意；
B．，可以用平方差公式计算，不符合题意；
C．，可以用平方差公式计算，不符合题意；
D．，可以用平方差公式计算，不符合题意；
故此题答案为A．
2．（2024河南南阳·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先根据乘积二倍项确定出两个数，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．
【详解】解：∵-8x=-2×4 x，
∴m=42=16，
解得m=16．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
3．（2024河南郑州·期末）a，b，c 是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，面积记作，分别以a，c 为长和宽作长方形，面积记作，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较、的大小
【答案】B
【分析】利用作差法即可比较大小．
【详解】解：由题可知，
∴(，
∴，
故此题答案为B
4．（2024河南焦作·期末）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1）然后将剩余的部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项。
【详解】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余的部分面积是，
拼成的矩形面积是，
∴根据剩余的部分面积相等得：，
故此题答案为B．
5．（2024河南商丘·期末）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ）
A．-4 B．16 C．-4或-16 D．4或16
【答案】D
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2（m-3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）=x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m-3=±1，n+2=0，
解得：m=4或m=2，n=-2，
当m=4，n=-2时，nm=16；
当m=2，n=-2时，nm=4，
则nm=4或16，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解此题的关键．
6．（2024河南洛阳·期末）如图1，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．根据图1和图2分别用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为，
因此有，
故此题答案为B．
7．（2024河南驻马店·期末）若是完全平方式，则 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式，得，展开计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
8．（2024河南鹤壁·期末）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k＝ ．
【答案】±6
【分析】这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍；
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴，
故此题答案为：．
【关键点拨】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
9．（2024河南郑州·期末）多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式,则添加的单项式可以是 .(任写一个符合条件的即可)
【答案】x4(或2x或-2x)
【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，判断出添加的单项式可以是哪个即可．
【详解】∵x2+1+2x=（x+1）2，
∴添加的单项式可以是2x．
10．（2024河南焦作·期末）（1）化简：
（2）用简便方法计算：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可；
（2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
11．（2024河南郑州·期末）先化简，再求值： ，其中 ， .
【答案】-3.
【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式运算，合并同类项化简，再代入数据计算即可．
【详解】原式=2xy-1
当 ，时，原式=-3．
12．（2024河南新乡·期末）剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2中阴影部分面积，直接写出之间的等量关系；
(2)根据（1）中的等量关系，已知求的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】此题考查完全平方差的公式和完全平方和的公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
（1）一种方法是表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用a、b表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示即可得出答案；
（2）根据解析（1）的结论，求出结果即可．
【详解】（1）解：由图知：
图2中阴影部分的面积：或，
∴；
（2）解：∵，
∴根据解析（1）的结论可知，
．
13．（2024河南郑州·期末）为了弘扬尊老敬老的良好风尚，进一步加强对学生的传统美德教育，五一假期之际，某校组织部分学生分批到学校附近的敬老院慰问看望孤寡老人．敬老院里有一位李爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子看望他时，李爷爷都要拿出糖果来招待他们．来个孩子，李爷爷就给这个孩子块糖；来个孩子，李爷爷就给每个孩子块糖；来个孩子，就给每人块糖……
月日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，月日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，月日有个孩子一起去敬老院看望李爷爷，那么李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？请你利用所学知识和方法从“数”和“形”两个方面进行说明．
【答案】李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数不一样多，理由见解析．
【详解】解：根据题意可得，第一天，个孩子一起看李爷爷，则李爷爷共给块糖；
第三天，个孩子一起去看李爷爷，则李爷爷共给块糖，
第三天有个孩子去看李爷爷，则需给孩子块糖．
∴．
∴李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数不一样多；
如图，先以为边长构造正方形，再该正方形内部分别以、为边构造正方形，则大正方形的面积表示李爷爷第三天给出去的糖，涂色的两个正方形面积和表示李爷爷前两天给出去的糖果总数，由图可得，
∴李爷爷第三天给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数不一样多．
14．（2024河南焦作·期末）现有若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大正方形，使它的面积等于．
(1)画出拼成的大正方形．
(2)所拼成的大正方形的边长是 ．
(3)由此可以验证的公式为 ．
(4)如图，分别表示边长为的正方形的面积，且三点在一条直线上，若 ，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）设计一个边长为的正方形即可；
（）根据图形即可求解；
（）通过“大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积”即可验证；
（）先根据正方形的面积公式得，再根据得，然后根据乘法公式，可求出，然后再根据三角形的面积公式可得阴影部分的面积；
【详解】（1）根据题意，如图，
（2）解：根据图形可知，所拼成的大正方形的边长是，
故答案为：；
（3）解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
又∵大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积，
∴大正方形的面积为：，
∴，
故答案为：；
（4）解：∵，，四边形和四边形为正方形，
∴，，，
又∵，，
∴，，
由（）得：，
∴，
∴，
∴．
15．（2024河南洛阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值．
解：，
，即．
又，
，
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则______；
(2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，（）它们面积和为，边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是完全平方公式变形的应用，掌握、、、、之间的关系是解题的关键．
（1）由可得，再代入可得答案；
（2）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）设大正方形的边长为，正方形的边长为，面积和为，边长和为，
，，
，
，
解得：，
，
，
②，
由①②解得：，
．
16．（2024河南郑州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．
小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢
某数学兴趣小组的研究过程如下：
【阶段一】
特殊情况探讨：，，，，，……
【阶段二】
一般性探究：同学们想到设是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵① ，
∴除4外，所有能被② 整除的偶数都是智慧数．
∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数．
如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即
……
【阶段三】
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③ 个智慧数外，其余各组都有④ 个智慧数，而且每组中第⑤ 个不是智慧数．
请你完成以下任务：
（1）下列偶数中是智慧数的是 ；
A．2018 B．2022 C．2024 D．2026
（2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整；
（3）请完成【阶段二】“……”部分的研究；
（4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701
【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
（2）根据平方差公式即可求解；
（3）根据平方差公式即可求解；
（4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
【详解】解：（1）A、，
B、，
C、，
D、，
是智慧数的是C．
（2）一般性探究：同学们想到设是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
（3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即．
因为和这两个数的奇偶性相同，
所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，
而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，
可见等式左、右两边不相等，
所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
（4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又，
第2022个智慧数在（组），并且是第1个数，即．
考点三 因式分解
1．（2024河南周口·期中）对于①，②，从左到右的变形表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是整式乘法运算
C．①是因式分解，②是整式乘法运算
D．①是整式乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可．
【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法．
故此题答案为C．
【关键点拨】本题主要考查了因式分解和整式乘法的定义，掌握解因式分解是整式乘法的逆运算成为解题的关键．
2．（2024河南平顶山·期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【详解】解：是乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意；
是乘法运算，不是因式分解，则B不符合题意；
，则C符合题意；
中等号右边不是积的形式，则D不符合题意．
故此题答案为C．
3．（2024河南焦作·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法，逐项分解即可．
【详解】A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. 故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．（2024河南周口·期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【分析】利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n 2＝8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可．
【详解】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故此题答案为：D．
【关键点拨】本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解题关键．
5．（2024河南郑州·期末）对任意整数，都（ ）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除
C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除
【答案】C
【分析】利用平方差公式因式分解得出，和都是的一个因数，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴对任意整数，既能被2整除，又能被4整除，
故此题答案为C．
6．（2024河南郑州河南实验中学·期末）能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【详解】解：
，
能被整除，
故此题答案为C．
7．（2024河南驻马店·期中）已知，，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【分析】首先将所求式子进行因式分解，然后代入即可得解.
【详解】
将，，代入，得
上式=，
故此题答案为：D.
【关键点拨】此题主要考查利用完全平方式进行因式分解求值，熟练掌握，即可解题.
8．（2024河南南阳·开学摸底）若n为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除
【答案】B
【分析】先运用多项式乘多项式和合并同类项对该式进行计算，再运用因式分解进行求解．
【详解】解：
，
该代数式的值一定可以被3整除，
故此题答案为B．
9．（2024河南南阳·开学摸底）已知，，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可．
【详解】解：因为，，
∴
，
将，代入得：，
故此题答案为D．
10．（2024河南焦作·期末）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【详解】原式=，故填．
11．（2024河南南阳·期末）若，，则的值是 ．
【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故此题答案为：6．
【关键点拨】此题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．
12．（2024河南平顶山·期末）若 ，则 _______．
【答案】
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
13．（2024河南新乡·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式 因式分解的结果是 若取 ，则各个因式的值： 于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式 取 时，用上述方法产生的密码是________________（写出一个即可）
【答案】 或 或 或 或 或 （任选其一即可）
【分析】此题考查的是因式分解的应用，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先将其因式分解，然后将x和y的值分别代入各个因式中即可求出结论．
【详解】解：
，
当 时，
，
，
∴用上述方法产生的密码是 或 或 或 或 或 ，
故此题答案为 或 或 或 或 或 ．（任选其一即可）
14．（2024河南河南实验中学·开学摸底）因式分解：
①；
②.
【答案】①2；
②.
【详解】解：①原式；
②原式
15．（2024河南郑州·期末）数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如：，
请解决以下问题：
(1)将多项式因式分解：_____；
(2)将多项式因式分解；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）利用公式法进行因式分解即可；
（2）利用公式法和提公因式法进行因式分解即可；
（3）先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得，根据题意，可知，因此，即，即可得出结果．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即,
∴是等腰三角形．
16．（2024河南郑州·期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”．
小明对智慧数进行了探究：
，3是智慧数；，5是智慧数；
，7是智慧数；，9是智慧数；
……
小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数．
小明的证明方法如下：
设是正整数，
所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
小明继续对对智慧数进行了探究：
，8是智慧数；，12是智慧数；
，16是智慧数；，20是智慧数；
……
(1)请你帮助小明完成上述探究：
①猜测：________．
②请你对猜测进行证明；
(2)请写出不超过2024的最大的智慧数为________；它能表示为________和________这两个正整数的平方差．
【答案】(1)①除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；②证明见解析；
(2)2024；505；507
【分析】（1）①猜测：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；②设，且k为整数，根据平方差公式进行因式分解即可证明；
（2）根据（1）中结论可得最大的智慧数，再结合结论可得这两个正整数分别为多少．
【详解】（1）解：（1）①猜测：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
②证明：设，且k为整数，
∵，时，，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
（2）∵除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；
∴不超过2024的最大的智慧数为2024；
，
∴，；
∴这两个数分别为505和507．
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