中小学教育资源及组卷应用平台
专项复习提升（五） 分式
考点一 分式概念及其性质
1．（2024河南开封·期末）下列代数式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式定义进行解答即可．
【详解】解：选项A、C、D中的代数式：分母中不含有字母或含有，不是分式，是整式；选项B中的代数式：分母中含有字母，属于分式．
故此题答案为B
2．（2024河南洛阳·期末）已知分式有意义，则满足的条件是( )
A． B． C． D．任何实数
【答案】D
【分析】此题考查的是分式有意义的条件，掌握分母不为0是解此题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，而，
∴满足的条件是：为全体实数；
故此题答案为D
3．（2024河南新乡·期末）若分式的值为0，则实数m，n应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】根据分式的值为0的条件是：分子为0，但分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0的条件是：分子为0，但分母不为0．
∴且，即且．
∴D选项正确．
故此题答案为D．
4．（2024河南郑州·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质解答即可，
【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式变为，
∴分式的值不变．
故此题答案为B．
5．（2024河南商丘·期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：．是最简分式；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故此题答案为．
【关键点拨】此题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．
考点二 分式的运算
1．（2024河南开封·期末）已知，能使等式恒成立的运算符号是( )
A． B．- C．· D．
【答案】D
【解析】，能使等式恒成立的运算符号是，故选.
2．（2024河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；
故此题答案为A．
3．（2024河南新乡·期末）计算的结果是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．根据分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．故此题答案为C．
4．（2024河南信阳·期末）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：★=
★=
★=
=，
故此题答案为A．
【关键点拨】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．（2024河南洛阳·期末）某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要( )小时．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了列代数式（分式），分式的除法运算的应用，解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．由工作总量“1”除以工作效率即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
，
故此题答案为B．
6．（2024河南平顶山·期末）若，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：；；；，
，
，故此题答案为D．
7．（2024河南郑州·期末）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【详解】解：20纳秒秒，故此题答案为A.
【方法技巧】科学记数法的表示：一个数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当这个数的绝对值比10大时，n为正整数，n的值比这个数的整数位数小1；当这个数的绝对值比1小时，n为负整数，|n|就是这个数中从左边起第一个非零数字前零的个数(包括小数点前的零).
8．（2024河南新乡·期末）据报道，一种只有昆虫大小的机器人是全球最小的无人机，质量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，其中0.000106用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000106=1.06×10-4，
故此题答案为A．
9．（2024河南南阳·期末）芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体．单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”．已知，即纳米的十分之一．若将“”用科学记数法表示，则（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】D
【详解】解：已知，即纳米的十分之一．
若将“”用科学记数法表示，
则，
故此题答案为D．
10．（2024河南郑州·期末）计算的结果是 ．
【答案】/
【分析】利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可．
【详解】解：
11．（2024河南鹤壁·期末）若，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】根据分式的加减进行运算，整体代入求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式
12．（2024河南郑州·期末）如果＝3，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则先化简，再把等式变形后代入即可．
【详解】解：
=
=
∵
∴
原式==
13．（2024河南开封·期末）已知，则分式为 ．
【答案】
【分析】利用已知条件中的等式可变形为，再整体代入分式，然后合并同类项、约分求值．
【详解】解：∵，
，即，
14．（2024河南开封·期末）计算：
(1)计算:；
(2)化简:．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的基本性质分别化简得出答案.
【详解】（1）解：原式，
（2）解：原式=
=
15．（2024河南焦作·期末）先化简，再求值： ，请选择一个合适的数代入求值．
【答案】，当时，原式．
【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后选择使分式有意义的值进行计算求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【方法技巧】分式化简求值的技巧：对多项式进行因式分解，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，根据分式有意义的条件进行字母取值的选择，代入求值即可.
16．（2024河南开封·期末）先化简，再求值：
．
其中，．小虎做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事
【答案】；理由见解析
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后合并得到最简结果为常数，与取值无关,即可做出判断．
【详解】解：原式
．
化简后结果不含字母，
小虎同学虽然把条件“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的．
17．（2024河南洛阳·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】此题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简原式，然后将，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
18．（2024河南商丘·期末）先化简、再求值：，其中
【答案】，
【分析】此题考查了分式化简求值，实数运算；对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，求出，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵
；
∴当时，
原式
．
19．（2024河南新乡·期末）（1）化简：
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）；（2），．
【分析】此题考查了分式的加减乘除混合运算，整式的加减－化简求值．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可；
（2）去括号，合并同类项，再代入计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
20．（2024河南新乡·期末）先化简：，再从，，0，，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
【详解】解：
．
要使分式有意义，则x的值不能为，，1，
当时，，
当时，．
21．（2024河南焦作·期末）先化简，再选取一个合适的值代入求值．
【答案】，当时，分式的值为（答案不唯一）
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
【详解】解：
，
由题意得：，即，，，
选取，则原式．
考点三 分式方程
1．（2024河南郑州·期末）若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据分式的运算法则计算即可．
【详解】解：，即，
两边同时乘以，得：，
化简得，
由分式方程可知，分式方程的增根为，
故，
．
故此题答案为C．
2．（2024河南新乡·期末）已知关于y的方程的解为，则实数k的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【分析】此题考查分式方程的解．根据分式方程解的定义，将方程的根代入方程中求解易得出k的值．
【详解】解：∵关于y的方程的解为，
∴，
即，
解得．
故此题答案为D．
3．（2024河南平顶山·期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：原分式方程可化为，
方程两边同乘得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，
∵原分式方程的解为非负数，
∴，
即，解得且，
故此题答案为C．
4．（2024河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】先用k表示x，然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案.
【详解】解：，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且，故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
5．（2024河南郑州·期末）端午节是我国的传统节日，为了满足人们对粽子的需求，某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1200元购进甲种粽子的个数是用600元购进乙种粽子的个数的3倍．设每个甲种粽子的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据用1200元购进甲种粽子的个数是用600元购进乙种粽子的个数的3倍即可列出方程．
【详解】解：根据题意得：，
故此题答案为C．
6．（2024河南南阳·期末）小王和小李两位同学准备用720元班费给班里买一定数量的篮球，已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同，如下是两位同学了解到的具体情况：
下面是两位同学分别列出来的两个方程：
小王：；
小李：；
其中的x表示的意义为（ ）
A．均为篮球的数量
B．均为篮球的单价
C．小王方程中的x表示篮球的数量，小李方程中的x表示篮球的单价
D．小王方程中的x表示篮球的单价，小李方程中的x表示篮球的数量
【答案】C
【分析】根据两位同学所列方程中的0.7表示打折数来判断出x表示的意义即可.
【详解】解：由0.7所处位置可得出，小王所列方程中，x表示篮球的数量，小李方程中的x表示籃球的单价，所以，只有选项C中的x表示的意义正确，故此题答案为C.
7．（2024河南驻马店·期末）若关于x的一元一次不等式的解集为,且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之积即可．
【详解】解：解不等式，解得x≤7，
∴不等式组整理的，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得y a＋3y 4＝y 2，即3y 2＝a，
解得y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故此题答案为A．
8．（2024河南商丘·期末）解分式方程
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，
（1）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
掌握解题步骤，检验根的正确性是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
（2）方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
9．（2024河南平顶山·期末）已知关于的方程．
(1)当取何值时，此方程的解为；
(2)当取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)且
【分析】（1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值；
（2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值；
（3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
方程的解为，
，解得，
当时，此方程的解为；
（2）解：方程会产生增根，
，
，解得，
当时，此方程会产生增根；
（3）解：方程的解是正数，
且，
解得且．
当此方程的解是正数时，的取值范围是且．
10．（2024河南洛阳·期末）为深入学习二十大重要讲话精神，落实立德树人根本任务，某中学开展了以“品红色文化”为主题的研学活动．现去中共洛阳组诞生地纪念馆有两条路线可供选择，路线A的全程是27千米，但交通比较拥堵，路线B比路线A的全程多6千米，但平均车速比走路线A时能提高．若走路线B能比走路线A少用10分钟．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少？
【答案】走路线A的平均速度是30千米/时，走路线B的平均速度是45千米/时
【分析】此题考查分式方程解决实际问题．
设走路线A的平均速度为x千米/时，则走路线B的平均速度为千米/时，走路线A需用时小时，走路线B需用时小时，根据“走路线B能比走路线A少用10分钟”即可列出方程，求解并检验即可解答．
【详解】设走路线A的平均速度为x千米/时，则走路线B的平均速度为千米/时．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
答：走路线A的平均速度是30千米/时，走路线B的平均速度是45千米/时．
11．（2024河南鹤壁·期末）在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程
有甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修，求甲队每天修的路长．小明： 小亮：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小明所列方程，x表示______，列方程所依据的等量关系是______；
(2)小亮所列方程，y表示______，列方程所依据的等量关系是______；
(3)请你在两个方程中任选一个，完整解答本题．
【答案】(1)甲队每天修的路长，甲队修路800米与乙队修路1000米所用时间相等
(2)甲队修路所用的时间（或：乙队修路所用的时间）；乙队每天比甲队多修20米
(3)见解析
【分析】（1）设甲队每天修的路为x米，则乙队每天修，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，以此数量关系列出两分式方程，即可解答；
（2）设甲队修路，乙队修路所用时间为y天；乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出分式方程，即可解答；
（3）解出分式方程即可．
【详解】（1）解：设甲队每天修的路为x米，则乙队每天修，
根据题意得：，
小明所列方程，x表示甲队每天修的路长，列方程所依据的等量关系是甲队修路与乙队修路所用的时间相等；
（2）解：设甲队修路，乙队修路所用时间为y天；
根据题意得：，
小亮所列方程，y表示甲队修路所用的时间（或：乙队修路所用的时间），列方程所依据的等量关系是乙队每天比甲队多修；
（3）解：小明：
经检验是原方程的解，
答：甲队每天修的路长为；
小亮：
，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲队每天修的路长为．
12．（2024河南焦作·期末）第33届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26 日——8月11日在法国巴黎举行．为了增进同学们对奥林匹克运动会的了解，某中学开展奥林匹克日主题活动，学校准备为参与活动的志愿者购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用800元购进A 款文化衫和用640元购进B款文化衫的数量相同．
(1)求A 款文化衫和B款文化衫每件各多少元
(2)加入志愿者的同学一共有300人，学校计划为每位同学购买一件文化衫．在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论如何购买，所需资金恰好相同，试求m的值及所需资金．
【答案】(1)A款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
(2)5；10500．
【分析】（1）设款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，结合用800元购进A款和用640元购进款的文化衫的数量相同，可列出关于的分式方程，即可求解；
（2）设购买件A款文化衫，则购买件款文化衫，购买300件两款文化衫所需总费用为元，可得出关于的函数关系式，由所有购买方案所需资金恰好相同得的值与值无关，利用一次函数的性质，可得，解之即可．
【详解】（1）解：设款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
；
答：A款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
（2）解：设购买件A款文化衫，则购买件款文化衫，购买300件两款文化衫所需总费用为元，
则，
无论怎么购买所需资金恰好相同，
的值与值无关，
，
，
．
答：m的值为5，所需资金为10500元．
13．（2024河南商丘·期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
(1)问第二次购进了多少件文具？
(2)文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
【答案】(1)200件
(2)盈利元，理由见详解
【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用；
（1）等量关系式：第一批玩具的价格第二批玩具的价格，据此列方程，解方程，检验，即可求解；
（2）总销售额（两次损耗费用第一次购文具费用第二次购买文具费用），即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设第一次购进件文具，由题意得，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件）；
答：第二次购进200件文具．
（2）解：由题意得
（元）；
答：文具店老板在这两笔生意中盈利元．
14．（2024河南南阳·期末）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力企业和产业发展的作用．某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少，无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同．
(1)求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量．
(2)该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，政府要求采购A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的．请计算该镇采购两种型号各多少件时，费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
(2)该镇采购A种型号5件，B种型号15件时，费用最少375000元
【分析】（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数．
（1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，根据无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设采购m台A型号喷药无人机，则采购台B型号喷药无人机，利用总费用=单价×数量，结合A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的，可列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购m台A型号喷药无人机，则采购台B型号喷药无人机，费用为W元．
根据题意得，，
∵A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的，
∴，
则，
∵，
∴W随m的增大而减小，当时，元，
此时（台），
答：该镇采购A种型号5件，B种型号15件时，费用最少375000元．
15．（2024河南郑州·期末）河南是全国小麦主产区，无论小麦种植面积，还是单产、总产，均居全国第一，“傲娇”的背后，“良种”是关键密码．某数学实践小组通过探访小麦试验基地，带来如下信息．
信息一：基地有A、B两块试验田，分别种植“郑麦1860”、“艾麦180”，A试验田比B试验田少9亩；
信息二：A试验田总产量为12.8吨，B试验田总产量为22吨；
信息三：该基地中“艾麦180”的平均每亩产量是“郑麦1860”平均每亩产量的1.1倍．
(1)根据以上信息，求出“郑麦1860”平均每亩产量，
(2)该实践小组计划利用校园空地开展小麦种植试验，两块试验田如图所示，1号小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；2号小麦试验田是长为，宽为b的长方形，那么几号小麦试验田面积较大，请说明理由．
【答案】(1)“郑麦1860”平均每亩产量为吨．
(2)当时，1号和2号小麦试验田面积相等，当时，1号小麦试验田面积较大．理由见解析．
【分析】（1）设“郑麦1860”平均每亩产量为吨，则“艾麦180”的平均每亩产量为吨，根据题意可得，解方程即可求解；
（2）根据题意可得1号小麦试验田面积，2号小麦试验田面积，两式相减可得，由此可判断两块试验田的面积关系．
【详解】（1）解：设“郑麦1860”平均每亩产量为吨，则“艾麦180”的平均每亩产量为吨，
A试验田种植“郑麦1860”总产量为12.8吨，B试验田种植“艾麦180”总产量为22吨，
A试验田面积为亩，B试验田面积为亩，
又 A试验田比B试验田少9亩，
解得．
经检验为方程的解，
“郑麦1860”平均每亩产量为吨．
答：“郑麦1860”平均每亩产量为吨．
（2）解：1号小麦试验田面积，
2号小麦试验田面积，
当时，，1号和2号小麦试验田面积相等，
当时，，1号小麦试验田面积大．
答：当时，，1号和2号小麦试验田面积相等，当时，，1号小麦试验田面积较大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专项复习提升（五） 分式
考点一 分式概念及其性质
1．（2024河南开封·期末）下列代数式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024河南洛阳·期末）已知分式有意义，则满足的条件是( )
A． B． C． D．任何实数
3．（2024河南新乡·期末）若分式的值为0，则实数m，n应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．且
4．（2024河南郑州·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的
5．（2024河南商丘·期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点二 分式的运算
1．（2024河南开封·期末）已知，能使等式恒成立的运算符号是( )
A． B．- C．· D．
2．（2024河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河南新乡·期末）计算的结果是（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．（2024河南信阳·期末）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
5．（2024河南洛阳·期末）某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要( )小时．
A． B． C． D．
6．（2024河南平顶山·期末）若，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024河南郑州·期末）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
8．（2024河南新乡·期末）据报道，一种只有昆虫大小的机器人是全球最小的无人机，质量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，其中0.000106用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024河南南阳·期末）芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体．单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”．已知，即纳米的十分之一．若将“”用科学记数法表示，则（ ）
A．8 B． C．9 D．
10．（2024河南郑州·期末）计算的结果是 ．
11．（2024河南鹤壁·期末）若，，则的值为 ．
12．（2024河南郑州·期末）如果＝3，则的值为 ．
13．（2024河南开封·期末）已知，则分式为 ．
14．（2024河南开封·期末）计算：
(1)计算:；
(2)化简:．
15．（2024河南焦作·期末）先化简，再求值： ，请选择一个合适的数代入求值．
16．（2024河南开封·期末）先化简，再求值：
．
其中，．小虎做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事
17．（2024河南洛阳·期末）先化简，再求值：，其中，．
18．（2024河南商丘·期末）先化简、再求值：，其中
19．（2024河南新乡·期末）（1）化简：
（2）先化简，再求值：，其中
20．（2024河南新乡·期末）先化简：，再从，，0，，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
（2024河南焦作·期末）先化简，再选取一个合适的值代入求值．
考点三 分式方程
1．（2024河南郑州·期末）若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024河南新乡·期末）已知关于y的方程的解为，则实数k的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
3．（2024河南平顶山·期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．（2024河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
5．（2024河南郑州·期末）端午节是我国的传统节日，为了满足人们对粽子的需求，某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1200元购进甲种粽子的个数是用600元购进乙种粽子的个数的3倍．设每个甲种粽子的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024河南南阳·期末）小王和小李两位同学准备用720元班费给班里买一定数量的篮球，已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同，如下是两位同学了解到的具体情况：
下面是两位同学分别列出来的两个方程：
小王：；
小李：；
其中的x表示的意义为（ ）
A．均为篮球的数量
B．均为篮球的单价
C．小王方程中的x表示篮球的数量，小李方程中的x表示篮球的单价
D．小王方程中的x表示篮球的单价，小李方程中的x表示篮球的数量
7．（2024河南驻马店·期末）若关于x的一元一次不等式的解集为,且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
8．（2024河南商丘·期末）解分式方程
(1)
(2)
9．（2024河南平顶山·期末）已知关于的方程．
(1)当取何值时，此方程的解为；
(2)当取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求的取值范围．
10．（2024河南洛阳·期末）为深入学习二十大重要讲话精神，落实立德树人根本任务，某中学开展了以“品红色文化”为主题的研学活动．现去中共洛阳组诞生地纪念馆有两条路线可供选择，路线A的全程是27千米，但交通比较拥堵，路线B比路线A的全程多6千米，但平均车速比走路线A时能提高．若走路线B能比走路线A少用10分钟．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少？
11．（2024河南鹤壁·期末）在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程
有甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修，求甲队每天修的路长．小明： 小亮：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小明所列方程，x表示______，列方程所依据的等量关系是______；
(2)小亮所列方程，y表示______，列方程所依据的等量关系是______；
(3)请你在两个方程中任选一个，完整解答本题．
12．（2024河南焦作·期末）第33届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26 日——8月11日在法国巴黎举行．为了增进同学们对奥林匹克运动会的了解，某中学开展奥林匹克日主题活动，学校准备为参与活动的志愿者购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用800元购进A 款文化衫和用640元购进B款文化衫的数量相同．
(1)求A 款文化衫和B款文化衫每件各多少元
(2)加入志愿者的同学一共有300人，学校计划为每位同学购买一件文化衫．在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论如何购买，所需资金恰好相同，试求m的值及所需资金．
13．（2024河南商丘·期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
(1)问第二次购进了多少件文具？
(2)文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
14．（2024河南南阳·期末）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力企业和产业发展的作用．某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少，无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同．
(1)求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量．
(2)该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，政府要求采购A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的．请计算该镇采购两种型号各多少件时，费用最少？并求出最少费用．
15．（2024河南郑州·期末）河南是全国小麦主产区，无论小麦种植面积，还是单产、总产，均居全国第一，“傲娇”的背后，“良种”是关键密码．某数学实践小组通过探访小麦试验基地，带来如下信息．
信息一：基地有A、B两块试验田，分别种植“郑麦1860”、“艾麦180”，A试验田比B试验田少9亩；
信息二：A试验田总产量为12.8吨，B试验田总产量为22吨；
信息三：该基地中“艾麦180”的平均每亩产量是“郑麦1860”平均每亩产量的1.1倍．
(1)根据以上信息，求出“郑麦1860”平均每亩产量，
(2)该实践小组计划利用校园空地开展小麦种植试验，两块试验田如图所示，1号小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；2号小麦试验田是长为，宽为b的长方形，那么几号小麦试验田面积较大，请说明理由．
参考答案
考点一 分式概念及其性质
1．【答案】B
【分析】分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式定义进行解答即可．
【详解】解：选项A、C、D中的代数式：分母中不含有字母或含有，不是分式，是整式；选项B中的代数式：分母中含有字母，属于分式．
故此题答案为B
2．【答案】D
【分析】此题考查的是分式有意义的条件，掌握分母不为0是解此题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，而，
∴满足的条件是：为全体实数；
故此题答案为D
3．【答案】D
【分析】根据分式的值为0的条件是：分子为0，但分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0的条件是：分子为0，但分母不为0．
∴且，
即且．
∴D选项正确．
故此题答案为D．
4．【答案】B
【分析】根据分式的基本性质解答即可，
【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式变为，
∴分式的值不变．
故此题答案为B．
5．【答案】A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：．是最简分式；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故此题答案为．
【关键点拨】此题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．
考点二 分式的运算
1．【答案】D
【解析】，能使等式恒成立的运算符号是，故选.
2．【答案】A
【分析】根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；
故此题答案为A．
3．【答案】C
【分析】此题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．根据分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故此题答案为C．
4．【答案】A
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：★=
★=
★=
=，
故此题答案为A．
【关键点拨】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．【答案】B
【分析】此题考查了列代数式（分式），分式的除法运算的应用，解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．由工作总量“1”除以工作效率即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
，
故此题答案为B．
6．【答案】D
【详解】解：；；；，
，
，故此题答案为D．
7．【答案】A
【详解】解：20纳秒秒，故此题答案为A.
【方法技巧】科学记数法的表示：一个数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当这个数的绝对值比10大时，n为正整数，n的值比这个数的整数位数小1；当这个数的绝对值比1小时，n为负整数，|n|就是这个数中从左边起第一个非零数字前零的个数(包括小数点前的零).
8．【答案】A
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000106=1.06×10-4，
故此题答案为A．
9．【答案】D
【详解】解：已知，即纳米的十分之一．
若将“”用科学记数法表示，
则，
故此题答案为D．
10．【答案】/
【分析】利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可．
【详解】解：
11．【答案】2
【分析】根据分式的加减进行运算，整体代入求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式
12．【答案】
【分析】根据分式的运算法则先化简，再把等式变形后代入即可．
【详解】解：
=
=
∵
∴
原式==
13．【答案】
【分析】利用已知条件中的等式可变形为，再整体代入分式，然后合并同类项、约分求值．
【详解】解：∵，
，即，
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的基本性质分别化简得出答案.
【详解】（1）解：原式，
（2）解：原式=
=
15．【答案】，当时，原式．
【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后选择使分式有意义的值进行计算求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【方法技巧】分式化简求值的技巧：对多项式进行因式分解，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，根据分式有意义的条件进行字母取值的选择，代入求值即可.
16．【答案】；理由见解析
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后合并得到最简结果为常数，与取值无关,即可做出判断．
【详解】解：原式
．
化简后结果不含字母，
小虎同学虽然把条件“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的．
17．【答案】，．
【分析】此题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简原式，然后将，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
18．【答案】，
【分析】此题考查了分式化简求值，实数运算；对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，求出，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵
；
∴当时，
原式
．
19．【答案】（1）；（2），．
【分析】此题考查了分式的加减乘除混合运算，整式的加减－化简求值．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可；
（2）去括号，合并同类项，再代入计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
20．【答案】，当时，原式；当时，原式
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
【详解】解：
．
要使分式有意义，则x的值不能为，，1，
当时，，
当时，．
21．【答案】，当时，分式的值为（答案不唯一）
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
【详解】解：
，
由题意得：，即，，，
选取，则原式．
考点三 分式方程
1．【答案】C
【分析】根据分式的运算法则计算即可．
【详解】解：，即，
两边同时乘以，得：，
化简得，
由分式方程可知，分式方程的增根为，
故，
．
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】此题考查分式方程的解．根据分式方程解的定义，将方程的根代入方程中求解易得出k的值．
【详解】解：∵关于y的方程的解为，
∴，
即，
解得．
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：原分式方程可化为，
方程两边同乘得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，
∵原分式方程的解为非负数，
∴，
即，
解得且，
故此题答案为C．
4．【答案】B
【分析】先用k表示x，然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案.
【详解】解：，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
5．【答案】C
【分析】根据用1200元购进甲种粽子的个数是用600元购进乙种粽子的个数的3倍即可列出方程．
【详解】解：根据题意得：，
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】根据两位同学所列方程中的0.7表示打折数来判断出x表示的意义即可.
【详解】解：由0.7所处位置可得出，小王所列方程中，x表示篮球的数量，小李方程中的x表示籃球的单价，所以，只有选项C中的x表示的意义正确，故此题答案为C.
7．【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之积即可．
【详解】解：解不等式，解得x≤7，
∴不等式组整理的，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得y a＋3y 4＝y 2，即3y 2＝a，
解得y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故此题答案为A．
8．【答案】(1)无解
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，
（1）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
掌握解题步骤，检验根的正确性是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
（2）方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
9．【答案】(1)；(2)；(3)且
【分析】（1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值；
（2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值；
（3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
方程的解为，
，解得，
当时，此方程的解为；
（2）解：方程会产生增根，
，
，解得，
当时，此方程会产生增根；
（3）解：方程的解是正数，
且，
解得且．
当此方程的解是正数时，的取值范围是且．
10．【答案】走路线A的平均速度是30千米/时，走路线B的平均速度是45千米/时
【分析】此题考查分式方程解决实际问题．
设走路线A的平均速度为x千米/时，则走路线B的平均速度为千米/时，走路线A需用时小时，走路线B需用时小时，根据“走路线B能比走路线A少用10分钟”即可列出方程，求解并检验即可解答．
【详解】设走路线A的平均速度为x千米/时，则走路线B的平均速度为千米/时．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
答：走路线A的平均速度是30千米/时，走路线B的平均速度是45千米/时．
11．【答案】(1)甲队每天修的路长，甲队修路800米与乙队修路1000米所用时间相等
(2)甲队修路所用的时间（或：乙队修路所用的时间）；乙队每天比甲队多修20米
(3)见解析
【分析】（1）设甲队每天修的路为x米，则乙队每天修，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，以此数量关系列出两分式方程，即可解答；
（2）设甲队修路，乙队修路所用时间为y天；乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出分式方程，即可解答；
（3）解出分式方程即可．
【详解】（1）解：设甲队每天修的路为x米，则乙队每天修，
根据题意得：，
小明所列方程，x表示甲队每天修的路长，列方程所依据的等量关系是甲队修路与乙队修路所用的时间相等；
（2）解：设甲队修路，乙队修路所用时间为y天；
根据题意得：，
小亮所列方程，y表示甲队修路所用的时间（或：乙队修路所用的时间），列方程所依据的等量关系是乙队每天比甲队多修；
（3）解：小明：
经检验是原方程的解，
答：甲队每天修的路长为；
小亮：
，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲队每天修的路长为．
12．【答案】(1)A款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
(2)5；10500．
【分析】（1）设款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，结合用800元购进A款和用640元购进款的文化衫的数量相同，可列出关于的分式方程，即可求解；
（2）设购买件A款文化衫，则购买件款文化衫，购买300件两款文化衫所需总费用为元，可得出关于的函数关系式，由所有购买方案所需资金恰好相同得的值与值无关，利用一次函数的性质，可得，解之即可．
【详解】（1）解：设款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
；
答：A款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
（2）解：设购买件A款文化衫，则购买件款文化衫，购买300件两款文化衫所需总费用为元，
则，
无论怎么购买所需资金恰好相同，
的值与值无关，
，
，
．
答：m的值为5，所需资金为10500元．
13．【答案】(1)200件
(2)盈利元，理由见详解
【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用；
（1）等量关系式：第一批玩具的价格第二批玩具的价格，据此列方程，解方程，检验，即可求解；
（2）总销售额（两次损耗费用第一次购文具费用第二次购买文具费用），即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设第一次购进件文具，由题意得，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件）；
答：第二次购进200件文具．
（2）解：由题意得
（元）；
答：文具店老板在这两笔生意中盈利元．
14．【答案】(1)无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
(2)该镇采购A种型号5件，B种型号15件时，费用最少375000元
【分析】（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数．
（1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，根据无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设采购m台A型号喷药无人机，则采购台B型号喷药无人机，利用总费用=单价×数量，结合A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的，可列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购m台A型号喷药无人机，则采购台B型号喷药无人机，费用为W元．
根据题意得，，
∵A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的，
∴，
则，
∵，
∴W随m的增大而减小，当时，元，
此时（台），
答：该镇采购A种型号5件，B种型号15件时，费用最少375000元．
15．【答案】(1)“郑麦1860”平均每亩产量为吨．
(2)当时，1号和2号小麦试验田面积相等，当时，1号小麦试验田面积较大．理由见解析．
【分析】（1）设“郑麦1860”平均每亩产量为吨，则“艾麦180”的平均每亩产量为吨，根据题意可得，解方程即可求解；
（2）根据题意可得1号小麦试验田面积，2号小麦试验田面积，两式相减可得，由此可判断两块试验田的面积关系．
【详解】（1）解：设“郑麦1860”平均每亩产量为吨，则“艾麦180”的平均每亩产量为吨，
A试验田种植“郑麦1860”总产量为12.8吨，B试验田种植“艾麦180”总产量为22吨，
A试验田面积为亩，B试验田面积为亩，
又 A试验田比B试验田少9亩，
解得．
经检验为方程的解，
“郑麦1860”平均每亩产量为吨．
答：“郑麦1860”平均每亩产量为吨．
（2）解：1号小麦试验田面积，
2号小麦试验田面积，
当时，，1号和2号小麦试验田面积相等，
当时，，1号小麦试验田面积大．
答：当时，，1号和2号小麦试验田面积相等，当时，，1号小麦试验田面积较大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
