浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试
数学
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 若，则（）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（）
A. B. C. 1 D. 2
4. 从两位数中随机选择一个数，则它平方的个位数字为1的概率是（）
A. B. C. D.
5. 已知函数，，且，则函数可能是（）
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（）
A. B.
C. D.
7. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，则方程的实根个数是（）
A. 2 B. .3 C. 4 D. 5
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线：与直线：平行，则实数可能（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 下列从总体中抽得样本是简单随机抽样的是（）
A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取
B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75
C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号
D. 总体编号为1～712，用软件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的编号
11. 已知椭圆：，直线：，（）
A. 若直线与椭圆有公共点，则
B. 若，则椭圆上的点到直线的最小距离为
C. 若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6
D. 若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______.
13. 已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______.
14. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，
（1）求；
（2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度.
16. 已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点.
（1）求的取值范围；
（2）当时，求的面积.
17如图，四棱锥中，底面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时，
（1）求点的轨迹方程；
（2）证明：直线是点轨迹切线；
（3）求面积的最大值.
19. 如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求的取值范围；
（3）求四面体的体积的最大值.
2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】##
13.
【答案】9或
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求解即可；
（2）解直角三角形得出，再由中线的向量形式平方即可得解.
【小问1详解】
由题意可知，，
由，故，
故，又，
所以，.
【小问2详解】
如图，，
由（1）可知，，则，，
故，
因为，
所以，
所以，即的长度为.
16.
【解析】
【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解；
（2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解.
【小问1详解】
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
故圆为，
因为圆与圆交于，两点，
所以，
解得.
【小问2详解】
当时，圆：，：，
故是以为顶点的等腰三角形，
由（1）可知，，
所以边上的高为，
所以的面积为.
17.
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为矩形.再得到，运用线面平行判定可解.
（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面ABCD ，所以，，
由，，得；
在中，，所以为正三角形，
过作的垂线，垂足为，，有，，
所以四边形为矩形.
故，平面.平面，所以平面.
【小问2详解】
以为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面，的法向量分别为，.
，，，
，得，解得；
，得，解得；
设平面与平面的夹角大小为，
则.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.
（2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可，
（3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可
【小问1详解】
由线段的垂直平分线的性质可知，，
故，
所以点在以点A，为焦点的椭圆上，
其中椭圆的长轴长为8，焦距为，短轴长，
故点的轨迹方程为：.
【小问2详解】
设，
则有：，
将代入椭圆：消去整理得
，
故，
即
所以，直线是点轨迹的切线；.
【小问3详解】
由（2）可知，点到直线的距离为
，
点A到直线距离为
，
故线段，
所以的面积为
，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，的面积的最大值为.
19.
【解析】
【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可；
（2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围；
思路二：由空间向量的线性运算可得，进而可得范围.
（3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值.
思路二：直接根据结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，
则有是异面直线与所成的角或其补角.
因为，，
所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，
所以，所以，，
所以异面直线与所成的角为.
【小问2详解】
如图，过的中点分别作，的平行线，，
以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴，
过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.
由题意可知，，设,，
则，，
从而，且.
所以.
思路一：因为，，，
所以，，
所以，即.
所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为.
点，所以.
思路二：设在，上的投影分别为，则且，
则、分别为平行四边形的两条对角线，则为中点.
故，
可得
，
因为，则，所以.
【小问3详解】
由题意异面直线，所成角为，则到平面的距离，
故，
思路一：不妨设，，
则，
故，
从而，此时.
思路二：因为，
故，
从而，此时，.