第二章一元二次函数、方程和不等式同步练习卷（含解析）-高一数学上学期人教A版2019

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第二章一元二次函数、方程和不等式同步练习卷-高一数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数，，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．“对任意实数x，不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，且，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．4
7．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设，，，则的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若不等式的解集是，则（ ）
A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且
C． D．不等式的解集是R
10．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值
三、填空题
12．不等式的解集为 ．
13．若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
14．已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根．若满足，且，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．解答下列各题.
(1)若，求的最小值.
(2)若正数满足，
①求的最小值.
②求的最小值.
16．现有25块边长为1m的正方形草皮，要把这些草皮铺成一个矩形草坪，并在矩形草坪的四周种植花卉，要求花卉带的宽度相同且为1m.若每月给花卉施肥需要耗费肥料，给草坪施肥需要耗费肥料.求每月给花卉带和草坪施肥最少需要耗费多少肥料？

17．已知不等式的解是或．
(1)用字母a表示出b，c；
(2)求不等式的解
18．已知函数．
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)解关于的不等式.
19．科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．
(1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A A A A B AB ACD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】根据给定条件，利用不等式性质、作差法逐项判断即得.
【详解】对于A，，得，A错误；
对于B，因为，所以，得，B错误；
对于C，因为，所以，
所以，C错误；
对于D，因为，所以，所以，
所以，D正确.
故选：D
2．A
【分析】根据不等式性质，结合反例法即可判断.
【详解】对A，，则，所以，故A正确；
对B，不妨设，则，故B错误；
对C，不妨设，则，故C错误；
对D，不妨设，则，故D错误；
故选：A
3．C
【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断即得.
【详解】由不等式恒成立，得，解得，
而集合真包含于集合，
所以不等式恒成立的一个充分不必要条件是，C是，ABD不是.
故选：C
4．A
【分析】求出一元二次不等式的解集判断即可.
【详解】不等式化为，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A
5．A
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
6．A
【分析】根据基本不等式中“1”的妙用计算即可得出其最小值.
【详解】由题意知，故，
当且仅当时，即时，等号成立；
故选：A
7．A
【分析】由基本不等式可得充分性成立，取特殊值可得必要性不成立，可得结论.
【详解】由可知，即可得，
所以，即充分性成立；
当时成立，但此时，即必要性不成立，
因此“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
8．B
【分析】利用作差法分别计算和即可求解.
【详解】，
，
而，，而，
，即，综上.
故选：B．
9．AB
【分析】根据一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系一一判定选项即可.
【详解】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确；
由题意可得是方程的两个根，所以，
得，，所以B正确；
因为是方程的根，所以，所以C不正确；
把代入不等式，可得，
因为，所以即可，所以D不正确.
故选：AB
10．ACD
【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集.
【详解】对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
故选：ACD
11．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D.
【详解】因为正数，满足，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
解得，所以，故的最大值为，故A正确；
，
即，又，所以，
所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
由可得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误；
，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可．
【详解】，解得.
故答案为：
13．
【分析】根据题意，，利用基本不等式求出的最小值得解.
【详解】由，，当且仅当，即时等号成立，
，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】根据根与系数关系和韦达定理得到不等式和，结合题目条件得到方程，求出，将其代入不等式，求出的取值范围.
【详解】由题意得，
，，
故，
又，所以，即，
将代入中得，
解得
故答案为：
15．(1)7；
(2)①36；②.
【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案；
（2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案.
【详解】（1）由题.
当且仅当，即时取等号；
（2）①由结合基本不等式可得：
，又为正数，
则，当且仅当，即时取等号；
②由可得，
则.
当且仅当，又，
即时取等号.
16．488kg.
【分析】设矩形草坪的长为，宽为，得到，表达出每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料为，由基本不等式求出答案.
【详解】设矩形草坪的长为，宽为，由题意草坪的面积为，
花卉带的面积为，
所以每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料为
，
由基本不等式得，
当且仅当时等号成立，故每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料最少为488kg.
17．(1)，
(2)或
【分析】（1）由韦达定理可得；
（2）把（1）的结论代入求解．
【详解】（1）由不等式的解为或，
可知且的两根为2和3，
由韦达定理得，，所以，；
（2）由（1）可得：可变为，
因为，所以，整理得，
解得或，所以不等式的解是或．
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式的解集为，
当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去；
当时，即时，不等式可化为，
要使得不等式的解集为，
则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
（2）解：由不等式，可得，
当时，即时，不等式即为，解得，解集为；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为或；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为，
综上可得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
19．(1)200%，30
(2)
【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论；
（2）由（1）得到，结合一元二次不等式的解法，即可求得的范围，得到答案.
【详解】（1）解：由题意知，当时，
，当且仅当，即时取等号；
当时，，
在上单调递减，.
又，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.
（2）由（1）可知，此时月研发经费，
于是，令，整理得，解得：．
因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是．
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