8．4 因式分解
3．分组分解法
1．理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤；(重点)
2．能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题．(难点)
一、情境导入
1．因式分解：
(1)a4－18a2＋81；(2)a3＋6a2＋9a；
2．根据1中得到的式子尝试因式分解：a4－a3－12a2＋9a＋81.
二、合作探究
探究点：分组分解法分解因式
【类型一】 运用分组法分解因式
因式分解：
(1)a2＋4ab＋4b2－2a－4b；
(2)x3＋6x2＋11x＋6.
解析：(1)前三项是完全平方 ( http: / / www.21cnjy.com )形式，与－2(a＋2b)再提取公因式，分解因式即可；(2)把式子化成x3＋6x2＋9x＋2x＋6的形式，前三项首先提公因式x，即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后利用提公因式法分解，最后利用十字分解法分解即可．
解：(1)原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＝(a＋2b)(a＋2b－2)；
(2)原式＝x3＋6x2＋9x＋2x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )6＝x(x＋3)2＋2(x＋3)＝(x＋3)[x(x＋3)＋2]＝(x＋3)(x2＋3x＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．
方法总结：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型二】 运用分组法分解因式判定三角形的形状
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c ( http: / / www.21cnjy.com ))＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
方法总结：通过分组并利用完全平方式将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
【类型三】 整体代入求值
已知x＋y＝7，x－y＝5，求x2－y2－2y＋2x的值．
解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可．
解：x2－y2－2y＋2x＝(x＋y)( ( http: / / www.21cnjy.com )x－y)－2(y－x)＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)，将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45.
方法总结：若多项式有四项，且不能直接提公因式 ( http: / / www.21cnjy.com )时，可考虑分组分解，常用的分组方法有两、两分组，一、三分组，分组应满足各组有公因式或符合公式，且各组之间有公因式或符合公式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型四】 分组分解法的综合应用
若m、n满足＋(n－4)2＝0，分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．
解析：首先根据非负数的性质求出m、n的值，代入式子，然后利用分组分解法进行分解．
解：由题意，得m＋2＝0，n－4＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得m＝－2，n＝4.∴(x2＋y2)－(mxy＋n)＝x2＋y2－(－2xy＋4)＝x2＋y2＋2xy－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2)．
方法总结：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．分组分解法分解因式
某些多项式整体没有公式，也不符合公式， ( http: / / www.21cnjy.com )可将多项式进行分组，使各组符合提公因式或可以使用公式分解因式，且各组之间有公因式或符合公式从而将多项式因式分解．
2．分组分解法分解因式的应用
本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局 ( http: / / www.21cnjy.com )把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领8．4 因式分解
1．提公因式法
1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系，会用提取公因式的方法分解因式；(重点)
2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点)
一、情境导入
学校有一个长方形植物园，面积为(6ab＋3ab2)平方米，如果长为3ab米，那么宽是多少米？
二、合作探究
探究点一：因式分解的概念
下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－ ( http: / / www.21cnjy.com )1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形 ( http: / / www.21cnjy.com )式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解．故选B.
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变 ( http: / / www.21cnjy.com )形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：公因式的确定
多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( )
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.
方法总结：确定多项式中各项 ( http: / / www.21cnjy.com )的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点三：提公因式法分解因式
【类型一】 直接用提公因式法进行因式分解
因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．
解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题
【类型二】 利用因式分解简化运算
计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.
解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．
解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 利用因式分解整体代换求值
已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．
解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
三、板书设计
1．因式分解的概念
2．公因式
3．提公因式法分解因式
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
本节中要给学生留出自主学习的空间，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果8．4 因式分解
2．公式法
1．复习完全平方公式和平方差公式，理解其形式和特点；
2．理解并掌握完全平方公式和平方差公式分解因式的方法，能正确运用其进行多项式的因式分解．(重点、难点)
一、情境导入
我们已经学习了完全平方公式和平方差公式，对下面的多项式进行因式分解，试着发现其中的规律．
(1)x2－6xy＋9y2; (2)x4－2x2＋1；
(3)x2－9y2; (4)(x＋3y)2.
二、合作探究
探究点一：公式法分解因式
【类型一】 运用完全平方公式分解因式
下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )
(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(1)a2＋ab＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解因式．故选B.
方法总结：能运用完全平方公式分解因式的 ( http: / / www.21cnjy.com )多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 运用平方差公式分解因式
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不 ( http: / / www.21cnjy.com )能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2两项符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.
方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二：综合运用提公因式法与公式法分解因式
【类型一】 综合运用提公因式法和公式法分解因式
因式分解：
(1)x5－x3；
(2)2x2－8y2；
(3)x2(x－y)＋(y－x)．
解析：(1)(2)先提公因式，再对 ( http: / / www.21cnjy.com )余下的多项式利用平方差公式继续分解；(3)将y－x＝－(x－y)变形后，即可提取公因式(x－y)，然后再运用平方差公式继续分解因式．
解：(1)x5－x3＝x3(x2－1)＝x3(x＋1)(x－1)；
(2)2x2－8y2＝2(x2－4y2)＝2(x＋2y)(x－2y)；
(3)x2(x－y)＋(y－x)＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x－1)(x＋1)．
方法总结：一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再考虑运用公式进行因式分解；同时因式分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型二】 利用公式法因式分解简化计算
利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式简化计算，正确掌握完全平方公式是解题关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
三、板书设计
1．公式法分解因式
2．综合运用提公因式法分解因式
本节课学习了利用公式法进行因式分解，通过 ( http: / / www.21cnjy.com )独立思考，小组合作交流等方法，归纳出适用公式法进行因式分解的多项式特点以及运用公式法进行因式分解的一般步骤，通过例题与练习，巩固相关知识，同时充分发挥学生的主体作用，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的数学学习兴趣
