9．2 分式的运算
2．分式的加减
第3课时 分式的混合运算
1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算；(重点)
2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)
一、情境导入
提出问题：
1.说出有理数混合运算的顺序．
2.类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？
今天我们共同探究分式的混合运算．
二、合作探究
探究点：分式的混合运算
【类型一】 分式的混合运算
计算：
(1)(－)·；
(2)(x＋)÷(2＋－)．
解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：(1)原式＝·＝2a＋12；
(2)原式＝÷＝·＝.
方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
【类型二】 分式的化简求值
先化简代数式÷(1－)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．
解：原式＝÷(－)＝×＝，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝.
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 利用公式变形对分式进行化简
已知a＋＝5，求的值．
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将的分子、分母颠倒过来，即求＝a2＋1＋的值，再利用公式变形求值就简单多了．
解：因为a＋＝5，所以(a＋)2＝25，即a2＋＝23，所以＝a2＋1＋＝23＋1＝24.所以＝.
方法总结：利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型四】 分式混合运算的应用
甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正整数且a≠b)．
(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？
(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．
解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．
解：(1)甲的平均价格为＝；乙的平均价格为＝；
(2)甲的平均价格与乙的平均价格的差为－＝－＝，∵a≠b，∴＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．
方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．
三、板书设计
1．分式的混合运算
先乘方，再乘除，后加减．如果有括号，先进行括号里面的运算．
2．分式混合运算的应用
在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率
9．2 分式的运算
1．分式的乘除
1．理解并掌握分式的乘除法运算法则，能运用其进行运算并解决实际问题；(重点)
2．理解并掌握分式的乘方运算法则，分清乘方、乘除的运算顺序，能够解决分式的乘除、乘方的混合运算．(重点、难点)
一、情境导入
观察下列运算：
×＝，×＝，
÷＝×＝，÷＝×＝.
以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？
今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．
二、合作探究
探究点一：分式的乘除
【类型一】 利用分式的乘法法则进行计算
计算：
(1)·；
(2)·.
解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．
解：(1)·＝－＝－＝－；
(2)·＝·＝·＝－.
方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 利用分式的除法法则进行计算
计算：
(1)－3xy÷； (2)(xy－x2)÷.
解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．
解：(1)－3xy÷＝－3xy·＝－；
(2)(xy－x2)÷＝(xy－x2)·＝－x(x－y)·＝－x2y.
方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型三】 分式的乘除混合运算
计算：·÷.
解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．
解：原式＝··＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.
方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．
【类型四】 分式的化简求值
先化简，再求值：
(1)·，其中x＝，y＝；
(2)÷，其中x＝＋1.
解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
解：(1)原式＝·＝，当x＝，y＝时，原式＝24；
(2)原式＝·＝·＝x－1，当x＝＋1时，原式＝.
方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
探究点二：分式的乘方
【类型一】 分式的乘方运算
下列运算结果不正确的是( )
A．()2＝()2＝
B．[－()2]3＝－()6＝－
C．[]3＝()3＝
D．(－)n＝
解析：A、B、C计算都正确；D中(－)n＝(－1)n，原题计算错误．故选D.
方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算
计算：
(1)(－)2·(－)3·(－)4；
(2)÷()2·.
解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．
解：(1)原式＝·(－)·＝－；
(2)原式＝··＝.
方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．分式的乘除法则
两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母．两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
2．分式的乘方法则
分式的乘方就是把分子、分母分别乘方．即()n＝(ab－1)n＝an·b－n＝.
本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．采用这种温故知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．通过回忆乘法的定义，结合分式的乘除法进行练习，这样不仅加深了学生对知识的理解和记忆，而且锻炼了他们的数学表达能力，为以后的学习打下基础
9．2 分式的运算
2．分式的加减
第2课时 分式的加减
1．理解并掌握分式加减法法则；(重点)
2．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．(难点)
一、情境导入
1.请同学们说出，，的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
2.你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？
(1)＋；(2)＋－.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？
今天我们就学习分式加减法．
二、合作探究
探究点一：同分母分式的加减
计算：(1)－；(2)＋.
解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．
解：(1)－＝＝＝＝＝a－b；
(2)＋＝－＝＝.
方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：异分母分式的加减
【类型一】 异分母分式的加减运算
计算：
(1)－x－1；
(2)－.
解析：(1)先将整式－x－1变形为分母为x－1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
解：(1)－x－1＝－＝；
(2)－＝－＝＝.
方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型二】 异分母分式的化简求值
先化简，再求值：－，其中x＝2015.
解析：先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值．
解：原式＝－＝＝＝，当x＝2015时，原式＝.
方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
【类型三】 异分母分式的简便运算
已知下面一列等式：
1×＝1－；×＝－；
×＝－；×＝－；…
(1)请你从上边这些等式的结构特征写出它们的一般性等式；
(2)验证一下你写出的等式是否成立；
(3)利用等式计算：＋＋＋.
解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．
解：(1)·＝－；
(2)∵－＝－＝＝·，∴·＝－；
(3)原式＝(－)＋(－)＋(－)＋(－)＝－＝.
方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第12题
三、板书设计
1．分式的加减法则
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减．
2．分式的加减法的应用
从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决
样的一个整式
9．2 分式的运算
2．分式的加减
第1课时 分式的通分
1．理解并掌握最简公分母的概念，能够求出几个分式的最简公分母；(重点)
2．能够对几个分式进行通分，并运用其解决问题．(难点)
一、情境导入
1．通分：，.
2．分数通分的依据是什么？
3．类比分数，怎样把分式通分？
二、合作探究
探究点一：最简公分母
求下列分式的最简公分母：
，，.
解析：确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的得到的因式的积就是最简公分母．
解：，，的分母分别是2x＋2＝2(x＋1)、x2＋x＝x(x＋1)、x2＋1，故最简公分母是2x(x＋1)(x2＋1)．
方法总结：求最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
探究点二：通分
【类型一】 分母是单项式的分式的通分
通分：
(1)，；
(2)，；
(3)，，.
解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．
解：(1)最简公分母是2b2d，＝，＝；
(2)最简公分母是6a2bc2，＝，＝；
(3)最简公分母是10xy2z2，＝，＝，＝－.
方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
【类型二】 分母是多项式的分式的通分
通分：
(1)，；
(2)，.
解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．
解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，
＝，
＝；
(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，
＝，
＝.
方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．最简公分母
2．通分
(1)依据：分式的基本性质；
(2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母．
本节课学习了分式的通分，方法可类比分数的通分．在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．通分时，一要注意避免符号错误，二要注意通分不改变分式的值，即分母乘了一个整式，分子也要乘以同样的一个整式
