9．3 分式方程
第2课时 分式方程的实际应用
1．进一步熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
2．掌握列分式方程解决实际问题．(重点、难点)
一、情境导入
八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，走了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度．
二、合作探究
探究点：分式方程的应用
【类型一】 由实际问题抽象出分式方程
几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为( )
A.－＝3 B.－＝3
C.－＝3 D.－＝3
解析：本题的等量关系为：原来每人分摊的钱数－实际每人分摊的钱数＝3.原来参加旅游的学生有x人，则增加两人后人数是(x＋2)人，由题意得－＝3.故选A.
方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 工程问题
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．由题意得＋＝1，解得x＝6.经检验，x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲队单独完成全部工程需6小时，乙队单独完成全部工程需9小时．
方法总结：解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 行程问题
从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．
答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得－＝3，解得x＝120.经检验，x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
方法总结：解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
【类型四】 图表信息类问题
某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元．
解析：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据“总价÷单价＝数量”的关系建立方程．
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得＝，解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根．当x＝100时，x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
方法总结：解答此类问题要结合图表提供的信息，找出相等关系列方程．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
【类型五】 销售盈亏问题
佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解析：(1)根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意得－＝20，解得x＝6.经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价是每千克6元；
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．第二次购买水果200＋20＝220(千克)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
答：该果品店在这两次销售中，总体上是赚钱了，共赚了388元．
方法总结：本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑，掌握这次活动的流程．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
列分式方程解应用题的一般步骤是：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；
第四步，解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
最后作答．
在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程
9．3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
1．了解分式方程的概念；(重点)
2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用；(重点)
3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)
一、情境导入
1．什么是方程？
2．什么是一元一次方程？
3．解一元一次方程的一般步骤是什么？
我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究
探究点一：分式方程的概念
下列方程是分式方程的是( )
A.＝
B.x－1＝x＋2
C.x2－x＝1
D.
解析：根据分式方程的定义，分母含有未知数的方程是分式方程，B，C选项是整式方程，D选项是分式，只有A选项分母含有未知数，并且是方程．故选A.
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：分式方程的解法
【类型一】 解分式方程
解方程：
(1)＝； (2)＝－3.
解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．
解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，5x－10＝7x，2x＝－10，解得x＝－5.检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解；
(2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2.检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0，∴原方程无解．
方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围
关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．
解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点三：分式方程的增根
【类型一】 求分式方程的增根
若方程＝＋有增根，则增根可能为( )
A．0 B．2 C．0或2 D．1
解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x－2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0.故选A.
方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型二】 分式方程有增根，求字母的值
如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．3
解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.
方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】 分式方程无解，求字母的值
若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.
方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
三、板书设计
1.分式方程的概念
2.分式方程的解法
3.分式方程的增根
这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错
