安徽省合肥市2025届高三上学期第二次教学检测数学试卷（含解析）

合肥2024~2025学年度高三第二次教学质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．
2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“，使”的否定是（ ）
A．，使 B．不存在，使
C．，使 D．，使
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）
（参考数据：，）
A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14
6．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
8．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）
A． B．
C．的最小值为32 D．的最小值为
11．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心为
B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则______．
13．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______．
14．定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求的面积；
（2）若角为钝角，求的取值范围．
16．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．
17．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）．
参考公式：．参考数据：，．
18．（17分）
已知函数．
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）若，求证：；
（3）若，，为正实数，且，求证：．
19．（17分）
已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数．
（1）若，请直接给出和；
（2）若均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求证：．
合肥2024~2025学年度高三第二次教学质量检测
数学参考试卷
1．A
【详解】，所以阴影部分．故选：A．
2．D
【详解】命题“，使”的否定是，使．故选：D．
3．A
【详解】易知函数的定义域为，故可排除C，D；
又，，所以可排除B，故选：A．
4．C
【详解】由曲线恒在直线下方，可得，
恒成立，即
所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是，故选：C．
5．C
【详解】依题意得，，化成对数式，，
解得，．故选：C．
6．C
【详解】因为，且，
所以，
由正弦定理，可得，即，
所以，又因，所以，
所以外接圆的半径为．．故选：C．
7．A
【详解】由的图象关于直线对称可得，，
解得或，，
由于在上没有最小值，所以，所以，故选：A．
8．C
【详解】因为内一点，，
所以为的重心，
又在内（不含边界），且当与重合时，最小，
此时
所以，即，
当与重合时，最大，
此时，
所以，，即，
因为在内且不含边界，
所以取开区间，即，故选：C．
二．多选题
9．ACD
【详解】由，，
可得，，
由，可得，
解得，故A正确；
由，可得，故D正确；
又，
则，，故B错误，C正确．故选：ACD．
10．ABD
【详解】因为，即恒成立，
又因为，，
所以当时，，当时，，
因为对任意的，不等式恒成立，
所以当时，，当时，，
所以对于函数，必有，单调递减，且零点为，
所以，所以，
所以A正确，B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C错误；
对于D，
，
令，则，当且仅当时，等号成立．
则原式，
由二次函数的性质可得的最小值为，
此时，，所以D正确，故选：ABD．
11．ABD
【详解】对于A，因为为奇函数，所以，
即，所以，
所以，所以函数的图象关于点对称，所以A正确，
对于B，在中，令，得，得，
因为函数为偶函数，所以，
所以，所以，
令，则，所以，得，所以B正确，
对于C，因为函数的图象关于点对称，，
所以，所以，所以4不是的周期，所以C错误，
对于D，在中令，则，
令，则，因为，所以，
因为，所以，所以D正确，故选：ABD．
三．填空题（共1小题）
12．．
【详解】因为，
所以，可得，
则．
故答案为：．
13．．
【详解】作出函数图像可得，
从而得，且，从而得，
原式，
令，，，
令，则，，
在单调递增，，
最大值为．
14．
【详解】按和分类：记，
当时，，
当且仅当，，时，等号成立；
当时，，
当且仅当，，时，等号成立．
综上所述，的最小值是．
四．解答题
15．（13分）【详解】（1）由和正弦定理得，
，
因，
则有，
因，，则，又，故．
由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积．
（2）由正弦定理，可得，因，
代入化简得：．
因为钝角，故由可得，
则，，即，故的取值范围是．
16．（15分）【详解】（Ⅰ）当时，，，
由，，
故可列表：
1 3
0
，
关于的方程在区间内有两个不相等的实数根时；
（Ⅱ），由得．
①当，即时，，在上为增函数，
；
②当，即时，在上，为减函数，
在上，为增函数，；
③当，即时，，在上为减函数，．
综上所述，．
17．【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，
由题意可得，．
（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则．
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差，
利用，可得，．
当（或），即（或22.8）时，的最大值为．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．
18．（17分）【详解】（1）首先，，故，
设，则，，由，
可知当时，，在区间上单调递增，故，满足；
当时，由在区间上单调递增，且，，
故存在，使得，且时，，单调递减，
此时，，与题设矛盾．
综上所述，实数的取值范围．
（2）
由，可知，即
故只要证
设，，则，
在区间上单调递增，即，
，故原不等式成立．
（3）一方面，由于，
故可令，其中，，
结合第（2）问的结论，
，
另一方面，
，
综上可得，．
19．（17分）【详解】（1），；
（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，
故，当中所有元素互素时，等号成立．
要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，
解得：，
故的最小值为24；
（3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，
不妨设中正数个数不少于负数个数．
①当中元素均为非负数时，设，
于是，，
此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，
即；
②当中元素至少有一个为负数时，
设是中全体元素，且，于是，．
由是中的个元素，且非正数；
又是中的7个元素，且为正数，
故中元素不少于17个，
即；
另外，当时，
满足，
故．