山东省青岛2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 山东省青岛2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 671.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-24 13:21:23 | ||
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文档简介
2024-2025学年度第一学期期中考试解析-高三上数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，i为虚数单位，为z的共轭复数，则（ ）
A. B. 4 C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.2
4.已知向量，，其中，若，则（ ）
A. 40 B. 48 C. D. 62
5. 已知的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知a，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知且，则（ ）
A. B. C.2 D.
10. 已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）
A. B.是偶函数
C. D.若，则
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 的定义域为 B. 有解
C. 不存在极值点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为______.
13. 数列共有5项，前三项成等比数列，公比为q. 后三项成等差数列，公差为d，且若第5项为1，第2项与第4项的和为18，第1项与第3项的和为35，则____________.
14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则BQ的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知单位向量，满足．
（1）求；
（2）求在上的投影向量（用表示）．
16.（15分）
定义三阶行列式运算：，其中（i，）.关于x的不等式的解集为M.
（1）求M；
（2）已知函数在实数集单调递增，求a的取值范围.
17．（15分）函数（，，）的部分图象如图，和均在函数的图象上，且Q是图象上的最低点．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
18. （15分）已知数列是首项为2，公比为4的等比数列，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19.（17分）已知函数.
（1）求的值；
（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
高三期中考试题 数学参考答案
1. D 【解析】由，可得.
故选D.
2. C 【解析】由可得，则；，故，则.
故选C.
3. C【解析】由题意得.故选C项.
4. D 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.
故选D.
5. B 【解析】由题意可得，由余弦定理可得，，，.
故选B.
6. .B【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又，在上单调递增，所以.故选B项.
7. D 【解析】由题意可得，
解得
.
故选D.
8. A 【解析】由对恒成立，
令，则，
令，得，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.
令，，
，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.
故选A.
9. BCD【解析】由且，得，解得，同理得，故A项错误，B项正确；对于C项，，当且仅当时，取等，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选BCD项.
10. BCD【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A项错误；，所以是偶函数，故B项正确；由，得，故C项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D项正确.故选BCD项.
11. ACD 【解析】对于A选项，由函数的定义知的定义域为，故A正确.
对于B选项，令，则，即，判别式，无实数解，故B错误.
对于C选项，，
可知，
设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C正确.
对于D选项，方法一：由的单调性可知，D正确.
方法二：作差有，且，
故，D正确.
故选ACD.
12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.
13. 5【解析】由题意得该数列的项可设为，，，，1，又即从而，即，即，解得所以.
14. 【解析】如图，延长BA，CD交于点E，则为正三角形.
由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，故点Q在的外接圆上.
由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q在线段BD上，且时，BQ取得最小值.
15. 解：（1）．……6分
（2）在上的投影向量为．……13分
16．（15分）解：（1）， （3分）
所以，所以原不等式的解集. （6分）
（2）由（1）知，
所以 （7分）
在实数集上单调递增，，
又因为当时，是单调增函数，所以当时，，解得 （10分）
综上，a的取值范围是.
17. 解：（1）由题得，，故，．由，得，，故，，，故，故．
，即单调递增区间为，．……9分
（2）由，即，又，则，故，．……15分
18.解：（1）由题意得， （2分）
所以. （3分）
由，
得当时，， （5分）
所以，即. （6分）
又当时，也符合，
所以. （7分）
（2）设，
则， （8分）
（9分）
两式作差得， （10分）
即， （12分）
所以.
19.（17分）已知函数.
（1）求的值；
（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
解：（1）由，得， （2分）
所以，所以， （4分）
所以，所以. （5分）
（2）由（1）可得， （6分）
， （7分）
当时，，， 在区间上单调递减， （8分）
所以的最小值. （9分）
的最大值， （10分）
， （11分）
这时的取值范围为. （12分）
当时，，，在区间上，，
在区间上单调递减， （13分）
所以的最小值. （14分）
的最大值， （15分）
，
这时的取值范围为. （16分）
综上所述，
当时，取值范围为；
当时，取值范围为. （17分）
变式：
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
解：（1）由，得， （2分）
所以，所以， （4分）
所以，所以. （5分）
所以在处的切线方程为 （6分）
化为. （7分）
（2）由（1）可得
， （8分）
所以，，两零点为 （9分）
- +
单调递减 单调递增
（11分）
因为， （12分）
所以时，， （13分）
（14分）
所以设
， （15分）
（16分）
所以在上单调递增，因为，
所以的取值范围为. （17分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，i为虚数单位，为z的共轭复数，则（ ）
A. B. 4 C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.2
4.已知向量，，其中，若，则（ ）
A. 40 B. 48 C. D. 62
5. 已知的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知a，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知且，则（ ）
A. B. C.2 D.
10. 已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）
A. B.是偶函数
C. D.若，则
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 的定义域为 B. 有解
C. 不存在极值点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为______.
13. 数列共有5项，前三项成等比数列，公比为q. 后三项成等差数列，公差为d，且若第5项为1，第2项与第4项的和为18，第1项与第3项的和为35，则____________.
14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则BQ的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知单位向量，满足．
（1）求；
（2）求在上的投影向量（用表示）．
16.（15分）
定义三阶行列式运算：，其中（i，）.关于x的不等式的解集为M.
（1）求M；
（2）已知函数在实数集单调递增，求a的取值范围.
17．（15分）函数（，，）的部分图象如图，和均在函数的图象上，且Q是图象上的最低点．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
18. （15分）已知数列是首项为2，公比为4的等比数列，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19.（17分）已知函数.
（1）求的值；
（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
高三期中考试题 数学参考答案
1. D 【解析】由，可得.
故选D.
2. C 【解析】由可得，则；，故，则.
故选C.
3. C【解析】由题意得.故选C项.
4. D 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.
故选D.
5. B 【解析】由题意可得，由余弦定理可得，，，.
故选B.
6. .B【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又，在上单调递增，所以.故选B项.
7. D 【解析】由题意可得，
解得
.
故选D.
8. A 【解析】由对恒成立，
令，则，
令，得，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.
令，，
，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.
故选A.
9. BCD【解析】由且，得，解得，同理得，故A项错误，B项正确；对于C项，，当且仅当时，取等，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选BCD项.
10. BCD【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A项错误；，所以是偶函数，故B项正确；由，得，故C项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D项正确.故选BCD项.
11. ACD 【解析】对于A选项，由函数的定义知的定义域为，故A正确.
对于B选项，令，则，即，判别式，无实数解，故B错误.
对于C选项，，
可知，
设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C正确.
对于D选项，方法一：由的单调性可知，D正确.
方法二：作差有，且，
故，D正确.
故选ACD.
12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.
13. 5【解析】由题意得该数列的项可设为，，，，1，又即从而，即，即，解得所以.
14. 【解析】如图，延长BA，CD交于点E，则为正三角形.
由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，故点Q在的外接圆上.
由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q在线段BD上，且时，BQ取得最小值.
15. 解：（1）．……6分
（2）在上的投影向量为．……13分
16．（15分）解：（1）， （3分）
所以，所以原不等式的解集. （6分）
（2）由（1）知，
所以 （7分）
在实数集上单调递增，，
又因为当时，是单调增函数，所以当时，，解得 （10分）
综上，a的取值范围是.
17. 解：（1）由题得，，故，．由，得，，故，，，故，故．
，即单调递增区间为，．……9分
（2）由，即，又，则，故，．……15分
18.解：（1）由题意得， （2分）
所以. （3分）
由，
得当时，， （5分）
所以，即. （6分）
又当时，也符合，
所以. （7分）
（2）设，
则， （8分）
（9分）
两式作差得， （10分）
即， （12分）
所以.
19.（17分）已知函数.
（1）求的值；
（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
解：（1）由，得， （2分）
所以，所以， （4分）
所以，所以. （5分）
（2）由（1）可得， （6分）
， （7分）
当时，，， 在区间上单调递减， （8分）
所以的最小值. （9分）
的最大值， （10分）
， （11分）
这时的取值范围为. （12分）
当时，，，在区间上，，
在区间上单调递减， （13分）
所以的最小值. （14分）
的最大值， （15分）
，
这时的取值范围为. （16分）
综上所述，
当时，取值范围为；
当时，取值范围为. （17分）
变式：
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
解：（1）由，得， （2分）
所以，所以， （4分）
所以，所以. （5分）
所以在处的切线方程为 （6分）
化为. （7分）
（2）由（1）可得
， （8分）
所以，，两零点为 （9分）
- +
单调递减 单调递增
（11分）
因为， （12分）
所以时，， （13分）
（14分）
所以设
， （15分）
（16分）
所以在上单调递增，因为，
所以的取值范围为. （17分）