事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 讲义（含解析）-2025届高三数学一轮复习

知识回顾
一．事件的相互独立性
1．相互独立事件
（1）概念：对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）·P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
（2）性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2.相互独立事件的判断
（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件。
（2）公式法：P（AB）＝P（A）·P（B）
二．条件概率
1.概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
2.性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设，则
①
②如果B和C是两个互斥事件，则
③设和互为对立事件，则
3.两个公式
①利用古典概型：P（B|A）＝；
②概率的乘法公式：
4.求条件概率的常用方法
三．全概率公式
1.一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．
2.利用全概率公式求解概率的步骤
四．贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，P（B）>0，有P（Ai|B）＝＝，
题型一 相互独立事件
★例1
1.若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
2．拋掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为（ ）
A．“出现的点数为奇数” B．“出现的点数大于2”
C．“出现的点数小于4” D．“出现的点数小于3”
练习：
1．甲 乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
题型二 条件概率
★例2
有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
练习：
1.目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.某地病毒暴发，全省支援，需要从某市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为 .
题型三 全概率公式
★例3
1.某小组有20名射手，其中一、二，三、四级射手分别有2，6，9，3名．若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32．若随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为 ．
2.已知事件，相互独立，且，，则 ．
练习：
1.记为事件的对立事件，且，则 .
2.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是 .
3.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型四 贝叶斯公式
★例4
甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件，，，分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则 ， ．
练习：
1.设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率.
【解析】设表示“被诊断为肺结核”，表示“患有肺结核”.
由题意得，，
.
由贝叶斯公式知，.
2.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求.
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以.
反馈练习
1．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件 “两球同色”，事件“两球异色”，事件 “至少有一红球”，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
3．已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
4．若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为 .

5．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为 .
6．现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 .
7．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（ ）
A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.9
8．某医疗仪器上有、两个易耗元件，每次使用后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在第一次使用后就要更换元件的条件下，、两个元件都要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．用五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件{数字在的左边}，事件{与相邻}，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（ ）
A． B． C． D．
11．从1到10的连续10个整数中随机抽取3个，已知这3个数之和为奇数，则这3个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭个小孩中有女孩的条件下，个小孩中至少有个男孩的概率为 .
13．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
14．已知为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．记A，B为随机事件，下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥，，，
B．若事件A，B相互独立，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
16．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
17．已知，，，那么 ．
18．已知随机事件A，B，，，，则 .
19．已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件和分别表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件表示由乙箱取出的球是红球，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
21．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.8，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.4 ，已知第一次击中目标的概率是0.7 ，则第二次击中目标的概率为 .
22．芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为
23．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那么子三代中基因型为的概率是 .
24．泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；
(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.
25．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
27．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
28．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（ ）
A． B． C． D．
29．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ）
A． B．
C． D．
30．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：
事件概率
概率值
(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
参考答案
1．B
【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，
则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，
所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.
2．BC
【详解】随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，
随机事件包含的样本点的个数为，
所以，A错误；
随机事件包含的样本点的个数为，
所以，B正确，
事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件，
又，即事件为必然事件，
所以事件A与事件B是对立事件，C正确；
随机事件包含的样本点的个数为，
所以，
随机事件为不可能事件，所以，
所以，
所以事件A与事件B不是相互独立事件，D错误，
3．ABD
【详解】A：由，则，正确；
B：由，则，正确；
C：如果A与B相互独立，则，
，错误；
D：由C分析及事件关系知：，正确.
4．##
【详解】设元件正常工作的概率为，系统正常工作，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，
由题意可得，系统正常工作的概率为，解得.
5．
【详解】解：设甲同学答对的事件为A，答错的事件为，设丙同学答对的事件为B，答错的事件为，乙同学答对的事件为C，答错的事件为，
因为甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是，
所以 ，
解得，
所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
，
，
6．
【详解】设事件表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，
则，
则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为，
且各局游戏是相互独立的，
则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.
7．A
【详解】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，
依题意，，，，
则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为.
8．C
【详解】记事件第一次使用后就要更换元件，事件、两个元件都要更换，
则，，
由条件概率公式可得.
9．D
【详解】，，.
10．D
【详解】由题意知，， ，
所以.
11．B
【详解】解：由题意可知要使这3个数之和为奇数，则这3个数必为3个奇数或2个偶数1个奇数，
所以总的抽取法共有种，
要使这3个数之积为偶数，则必为2个偶数1个奇数，共有种，
所以所求概率为：.
12．
【详解】记事件该家庭个小孩中有女孩，事件该家庭中个小孩中至少有个男孩，
则，，
由条件概率公式可得.
13．A
【详解】由题意，，由，是互斥事件知，，
所以，
14．ABD
【详解】仅当与相互独立时，成立，故A不正确；
当和是两个互斥事件时才成立，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确．
15．BC
【详解】
，∴，A错.
，B对.
令，，，∴，
，∴，
，∴，C对.
，D错，
16．BCD
【详解】对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
17．##
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
18．
【详解】依题意得，所以
故，所以.
19．C
【详解】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，,
则由题意知，，,
,
所以
20．BD
【详解】由题意，可得，，
对于A中，由，且，
可得，所以事件与事件不相互独立，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由A项可得，所以C不正确；
对于D中，由，所以D正确.
21．0.68##
【详解】根据题意，设事件“第一次击中目标”，“第二次击中目标”，
，则，，，
所以
22．##
【详解】设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
23．##0.25
【详解】由题意，
子二代作杂交试验的基因配型有6种可能，分别设为，
设事件：“子三代的基因型为”，则
事件
配型
0 0 0 1
由全概率公式得，
24．(1)0.999
(2)
【详解】（1）设3人抽奖总次数为，则的可能取值为3，4，5，6.
由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为，只打卡一个景点的概率为，随机抽取3人，3人打卡景点情况相互独立.
表示抽奖总次数为3次，即3人都只打卡一个景点.
依题意可得，，
所以.
（2）记事件“每位打卡十八景游客至少打卡两个景点”，
则“每位打卡十八景游客只打卡一个景点”，
事件“一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”，
则，，，，
由全概率公式得，
.
25．D
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
26．
【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，
记取到的芯片是次品为事件，
则，
，
，
故，
则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
27．C
【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，
则，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.
28．A
【详解】解：因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为，
所以．
所以．
29．ACD
【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（ ），事件“零件为次品”，
则，，，
，，，故A正确，B错误；
C选项，
，故C正确；
D选项，，故D正确．
30．(1)表格见解析
(2)
【详解】（1）根据三个年级的人数比值为，则，
，，
由每个年级的抽取比例可知，，,
由全概率公式，得
，
事件概率
概率值
（2）该学生来自于高一年级的概率.