浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷03（含解析）

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浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷
数学卷03
时间1：20分钟 总分：120分 范围：九上-九下第1章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件
C．确定事件 D．不可能事件
2．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．当函数y＝（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＜1
C．x＞1 D．x为任意实数
4．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．汉代数学家赵爽在注解（周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（　　）
A．1 B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
8．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝20°，则∠DCA的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．如图，点O是正十二边形的中心，OM⊥FG于点M，则正确的是（　　）
A．OM＝OF sin15° B．OM＝OF sin30°
C．OM＝OF cos15° D．OM＝OF tan15°
10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1，当时，函数y有最小值，则b的值为（　　）
A．或 B．或 C．± D．﹣或﹣
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一个n边形的内角和是900°，则n＝　 　．
12．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 　 　秒才能停下来．
13．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 　 　．
14．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝8m，则坡面AB的长度 　 　m．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+（m＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则m的值为 　 　．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作△DEF∽△ABC，DE，FE分别与AC边交于点M，N，当△EMN与△BEC相似时，线段CN长度为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　 　；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
19．（8分）点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上．
（1）当y1＝y2时，求m的值；
（2）当y1＜2时，求证y2＞y1．
20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在格点上．
（1）画出△ABC的外接圆⊙O；
（2）连接AC，在（1）中的⊙O上画出点P，使得△PAC是直角三角形；
（3）求⊙O半径的长．
21．（10分）如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C．
（1）求证：FC BE＝DE2；
（2）若AB＝3，AC＝2，求AE的长．
22．（10分）如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.7米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
（1）求∠GAC的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
23．（12分）如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．
（1）求证：∠AGD＝∠ADC；
（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．
①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C．点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时另一个点也停止运动．
（1）求P，Q运动多少秒，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（2）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在一点K，使S△CBK：S△PBQ＝5：2？若存在，求K点坐标；若不存在，请说明理由．
浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷
数学卷03
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件
C．确定事件 D．不可能事件
【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选：B．
2．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件设m＝2k，n＝3k，再代入求出答案即可．
【解答】解：设m＝2k，n＝3k，
则
＝
＝
＝，
故选：B．
3．当函数y＝（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＜1
C．x＞1 D．x为任意实数
【分析】利用二次函数的增减性求解即可，并画出了图形，可直接看出．
【解答】解：对称轴是：x＝1，且开口向上，如图所示，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；
故选：B．
4．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据黄金分割的定义，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴＝＝，
∴AP2＝AB BP，
故A，C，D都不符合题意；
∵，
故B符合题意；
故选：B．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
6．汉代数学家赵爽在注解（周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据勾股定理先求出大正方形的边长，再求出小正方形的边长，从而得出两个正方形的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵两直角边分别是2和3，
∴斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为1，
∴S大正方形＝13，S小正方形＝1，
∴飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为；
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∵点B的坐标为（﹣2，4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），
故选：A．
8．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝20°，则∠DCA的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∴∠DCA＝∠CDB﹣∠BAC＝70°﹣20°＝50°．
故选：D．
9．如图，点O是正十二边形的中心，OM⊥FG于点M，则正确的是（　　）
A．OM＝OF sin15° B．OM＝OF sin30°
C．OM＝OF cos15° D．OM＝OF tan15°
【分析】连接OG，根据正多边形的性质得到∠FOG＝＝30°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接OG，
∵点O是正十二边形的中心，
∴∠FOG＝＝30°，
∵OM⊥FG，
∴∠FOM＝FOG＝15°，
∴OM＝OF cos15°，
故选：C．
10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1，当时，函数y有最小值，则b的值为（　　）
A．或 B．或 C．± D．﹣或﹣
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的数学方法可以求得b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+1＝（x﹣）2+，当时，函数y有最小值，
∴当＞时，即b＞1时，x＝取得最小值，则（﹣）2+＝，解得，b＝，
当时，即﹣3≤b≤1，x＝取得最小值，则＝，解得，b＝或b＝（舍去），
当＜时，即b＜﹣3时，x＝﹣取得最小值，则（﹣﹣）2+＝，解得，b＝﹣（舍去），
故b的值为或．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一个n边形的内角和是900°，则n＝　7　．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
【解答】解：这个多边形的边数是n，
则：（n﹣2） 180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：7．
12．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 　20　秒才能停下来．
【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
【解答】解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+10t
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20．
13．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 　∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．　．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
所以，添加的条件为∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
故答案为：∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
14．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝8m，则坡面AB的长度 　16　m．
【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝8m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝8m，
∴AB＝＝16（m）．
故答案为：16．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+（m＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则m的值为 　　．
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣4mx+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝2，
∴顶点P坐标为（2，﹣4m），点M坐标为（4，），
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（8，），
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点P（1，﹣4m）代入得，﹣4m＝k，
∴y＝（﹣4m）x，
将点B（8，）代入得＝（﹣4m）×8解得m＝．
故答案为：．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作△DEF∽△ABC，DE，FE分别与AC边交于点M，N，当△EMN与△BEC相似时，线段CN长度为 　或　．
【分析】分两种情形：如图1中，当EF⊥AB时，如图2中，当ME⊥EC时，分别证明两个三角形相似，构建方程求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE是中线，
∴EC＝EA＝EB，
∴∠B＝∠ECB，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠DEF＝∠B，
如图1中，当EF⊥AB时，∵∠A+∠ANE＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ANE＝∠B，
∴∠MEN＝∠MNE＝∠B＝∠ECB，
∴△EMN∽△BCE，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵∠A＝∠A，∠AEN＝∠ACB＝90°，
∴△AEN∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AN＝，
∴CN＝AC﹣AN＝8﹣＝；
如图2中，当ME⊥EC时，同法可证∠EMN＝∠MEN＝∠B＝∠ECB，
∴△EMN∽△BCE，NM＝NE，
∵∠EMN+∠MCE＝90°，∠MEN+∠CEN＝90°，
∴∠ECM＝∠NEC，
∴NE＝CN＝MN，
∵∠ACE＝∠A，∠CEM＝∠ACB＝90°，
∴△CEM∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
∴CN＝CM＝．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
【分析】代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式，然后算乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣2
＝+﹣1﹣2
＝﹣1．
18．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
19．（8分）点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上．
（1）当y1＝y2时，求m的值；
（2）当y1＜2时，求证y2＞y1．
【分析】（1）代入坐标得到y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，根据y1＝y2，列出方程解出m值即可；
（2）根据y1＝1﹣m+n2＜2得到2m＞2n2﹣2，代入y2，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2即可得以证明．
【解答】（1）解：∵y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，且y1＝y2，
∴1﹣m+n2＝4+2m+n2，
∴m＝﹣1，
（2）证明：∵y1＜2，
∴y1＝1﹣m+n2＜2，
∴﹣m+n2＜1，
∴m＞n2﹣1，
∴2m＞2n2﹣2，
∴，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2，
∵n2≥0，
∴2+3n2≥2，
∴y2＞2+3n2≥2＞y1．
∴y2＞y1．
20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在格点上．
（1）画出△ABC的外接圆⊙O；
（2）连接AC，在（1）中的⊙O上画出点P，使得△PAC是直角三角形；
（3）求⊙O半径的长．
【分析】（1）作出线段AB，BC的垂直平分线的交点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）利用圆周角定理作出直径AP，CP′即可；
（3）利用勾股定理求出OA即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）如图，△PAC，△P′AC即为所求；
（3）⊙O的半径＝OA＝＝．
21．（10分）如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C．
（1）求证：FC BE＝DE2；
（2）若AB＝3，AC＝2，求AE的长．
【分析】（1）先利用菱形的性质得到DE＝DF，DE∥AF，DF∥AE，再根据平行线的性质得到∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF，则可判断△BDE∽△DCF，然后利用相似比和等量代换得到结论；
（2）先利用菱形的性质得到AE＝DE，DE∥AF，则可判断△BDE∽△BCA，根据相似三角形的性质得到＝，即＝，然后利用比例性质可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形AEDF为菱形，
∴DE＝DF，DE∥AF，DF∥AE，
∴∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF，
∴△BDE∽△DCF，
∴＝，
∴FC BE＝DE DF，
而DE＝DF，
∴FC BE＝DE2，
（2）解：∵四边形AEDF为菱形，
∴AE＝DE，DE∥AF，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得AE＝，
即AE的长为．
22．（10分）如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.7米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
（1）求∠GAC的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答．
【解答】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）他不能挂上篮网，理由如下：
延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD sin32°≈0.8×0.53＝0.424（米），
∴OM＝OA+AM＝2.7+0.424＝3.124（米），
∵3.124米＞3米，
∴他不能挂上篮网．
23．（12分）如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．
（1）求证：∠AGD＝∠ADC；
（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．
①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．
【分析】（1）根据垂径定理得出＝，再根据圆周角定理即可得出答案；
（2）①证明△DAG∽△FAD，得出，代入数据求出结果即可；
②连接OD．BD，BC，根据垂径定理得出DE＝CE＝CD＝4，根据勾股定理得出BC＝2，根据等腰三角形的性质得出PE＝BE＝2，DC平分∠BDP，证明△CGF∽△AGD，得出＝＝＝即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）解：∵∠AGD＝∠ADC，∠DAG＝∠FAD，
∴△DAG∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AG×AF＝6×（6+4）＝60，
∴AD＝2；
②连接OD．BD，BC，如图：
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴DE＝CE＝CD＝4．
∵OA＝OB＝OD＝5，
∴OE＝3．
∴BE＝OB＝OE＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵AP＝AG，
∴∠AGP＝∠APG＝∠DBA＝∠DPB，
∴DP＝DB，
∵AB⊥CD，
∴PE＝BE＝2，DC平分∠BDP，
∴AG＝AP＝AB﹣PE﹣BE＝10﹣2﹣2＝6，，
∴CG＝BC＝2，
∵四边形ADCG是圆的内接四边形，
∴∠CGF＝∠ADC，∠GCF＝∠DAG，
由（1）可知∠AGD＝∠ADC，
∴∠CGF＝∠AGD，
∴△CGF∽△AGD，
∴＝＝＝．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C．点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时另一个点也停止运动．
（1）求P，Q运动多少秒，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（2）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在一点K，使S△CBK：S△PBQ＝5：2？若存在，求K点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作QH⊥AB，并分别列出AP，BQ，PB的参数长度，利用三角函数得出HQ的参数长度，进而求出△PBQ的面积函数．
（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半求解．
【解答】解：（1）当y＝0时，，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t，PB＝6﹣3t，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∴可设直线BC的解析式为：y＝kx﹣3，
∵B（4，0），
∴4k﹣3＝0，
解得k＝，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
过点Q作QH⊥AB于点H，
∴tan∠HBQ＝，
∴sin∠HBQ＝，
∵BQ＝t，
∴HQ＝t，
∴S△PBQ＝PB HQ＝（6﹣3t）×t＝t2+t＝（t﹣1）2+，
∴当t＝1时，S△PBQ最大＝．
即P，Q运动1秒，△PBQ的面积最大，最大面积是；
（2）存在．
过点K作KE⊥x轴交BC于点E，
∵S△CBK：S△PBQ＝5：2，S△PBQ＝，
∴S△CBK＝，
设E（m，m﹣3），K（m，m2﹣m﹣3），
S△CBK＝（Ey﹣Ky）（Bx﹣ x）＝（m﹣3﹣m2+m+3）×4＝m2+3m，
∴m2+3m﹣＝，
解得m1＝1，m2＝3，
当m1＝1时，m2﹣m﹣3＝，
当m2＝3时，m2﹣m﹣3＝，
∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．