浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷02（含解析）

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浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷
数学卷02
时间1：20分钟 总分：120分 范围：九上-九下第1章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．水涨船高 C．水中捞月 D．缘木求鱼
2．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么BP的长度是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形ABCD，若AF＝4，BF＝3，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（　　）
A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
8．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．70°
10．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．1或
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．正十二边形的内角和等于 　 　度．
12．如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 　 　．（只需写出一个条件即可）
13．一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 　 　个．
14．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为 　 　米．
15．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O　 　米以内．
16．如图，△ABC内接于⊙O，已知AB是⊙O直径，AB＝2，∠ABC＝30°，点D在直径AB上方的半圆上运动，连结CD交AB于点E，则的最大值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°．
（2）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
18．（6分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　 　；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
19．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＝﹣2，x2＝6时，y1＝y2．
（1）求b的值；
（2）如果存在实数t，使得点T（t，2t）在此二次函数的图象上，求c的取值范围．
20．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图所示，△ABC的三个顶点都在正方形网格格点上，请在网格中，按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A′BC′；
（2）在线段AC上找一个点E，使得．
21．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G．
（1）求证：DF2＝FG BF；
（2）当BD DF＝2AD DE时，求证：AE⊥DC．
22．（10分）如图1，某款台灯由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高照明效果．
（1）求悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知光源D到桌面l的距离为30cm时照明效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
23．（12分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若m＝2，点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，求n的取值范围；
（3）当m﹣3≤x≤5时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点P是△ABC内一个动点，且∠BPC＝135°．
（1）试找出与∠ACP相等的角，并说明理由；
（2）如图2，连接AP并延长交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连接CQ．
①求证△ACP∽△AQC；
②求的最小值；
（3）在如图2的条件下，若BP＝PC，求证：．
浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷
数学卷02
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．水涨船高 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意；
B、是必然事件，故B不符合题意；
C、是不可能事件，故C不符合题意；
D、是不可能事件，故D不符合题意；
故选：A．
2．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据合比性质进行计算．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：B．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
4．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么BP的长度是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，
故选：D．
5．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由三角形外角的性质求出∠C＝30°，由圆周角定理得到∠B＝∠C＝30°．
【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°．
故选：B．
6．如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形ABCD，若AF＝4，BF＝3，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理先求出AB的长，从而得出三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵BF＝3，AF＝4，
∴AB＝＝5，
∴大正方形的面积为25，
∴正方形EFGH的面积为25﹣4×3×4×＝1，
∴该点落在正方形EFGH区域内的概率为．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（　　）
A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
【分析】根据点A、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，A（1.5，0），D（4.5，0），
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∵点C的坐标为（1，3），
∴点F的坐标为（1×3，3×3），即（3，9），
故选：C．
8．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．
【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．
故选：B．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．70°
【分析】解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P，根据圆周角定理得出＝，求出∠BDC＝∠DBC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再求出∠ABC即可；解法二、过D作DE⊥AC于E，延长DE交⊙O于F，连接AF、CF、BC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据翻折变换得出∠FAC＝∠BAC＝25°，∠DCA＝∠FCA，根据圆内接四边形的性质得出∠BAF+∠BCF＝180°，求出∠ACF＝40°，求出∠ACD＝∠ACF＝40°，再根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P
则⊙O和⊙P为等圆，
∵∠BAC在⊙O和⊙P中分别对应弧BC和弧DC，
∴＝（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴BC＝DC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠DBC＝90°﹣∠BAC＝65°，
∴∠BDC＝65°；
解法二、过D作DE⊥AC于E，延长DE交⊙O于F，连接AF、CF、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，∠BAC＝25°，
∴∠FAC＝∠BAC＝25°，∠DCA＝∠FCA，
∵点A、F、C、B四点共圆，
∴∠BAF+∠BCF＝180°，
∴25°+25°+90°+∠ACF＝180°，
解得：∠ACF＝40°，
即∠ACD＝∠ACF＝40°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠BDC＝∠BAC+∠ACD＝25°+40°＝65°，
故选：C．
10．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．1或
【分析】依据题意，先求得抛物线对称轴，然后分两种情况讨论得到关于m的方程，解方程即可求得m值．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为2，
∴①当m＞0时，x＝1时，y＝2，
则m﹣2m+3＝2，
解得m＝1．
②当m＜0时，
∵对称轴是直线x＝1，
∴当x＝﹣1时，y取最小值＝2，
则m+2m+3＝2，
解得m＝﹣．
故m的值为1或﹣，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．正十二边形的内角和等于 　1800　度．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°进行计算即可．
【解答】解：（12﹣2）×180°＝1800°，
∴正十二边形的内角和等于1800°．
故答案为：1800．
12．如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 　∠A＝∠C（答案不唯一）　．（只需写出一个条件即可）
【分析】由相似三角形的判定方法可求解．
【解答】解：添加∠A＝∠C，且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）．
13．一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 　6　个．
【分析】设箱内粉球有x个，根据概率公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：设箱内粉球有x个，
由题意得：＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
即箱内粉球有6个，
故答案为：6．
14．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为 　3　米．
【分析】先根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵BC＝3米，斜坡AB的坡度是1：，
∴AC＝3米，
∴AB＝＝＝3（米），
则物体所经过的路程为3米，
故答案为：3．
15．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O　7　米以内．
【分析】根据题意，可以设出OA右侧的抛物线解析式，然后根据题意，可以求得抛物线的解析式，再令y＝1.8求出x的值，再结合函数图象，即可得到王师傅应站在离中心O多少米的范围内才不会被淋湿．
【解答】解：设OA右侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，
∵某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，
∴该抛物线过点（8，0），
∴0＝a（8﹣3）2+5，得a＝﹣，
∴OA右侧的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5＝x2++，
当y＝1.8时，1.8＝﹣（x﹣3）2+5，得x1＝7，x2＝﹣1，
∵各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，点A的坐标为（0，），
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心O7米以内，
故答案为：7．
16．如图，△ABC内接于⊙O，已知AB是⊙O直径，AB＝2，∠ABC＝30°，点D在直径AB上方的半圆上运动，连结CD交AB于点E，则的最大值为 　　．
【分析】连结OD，作DL⊥AB于点L，CF⊥AB于点F，则△DEL∽△CEF，所以＝，由CF为定值，可知当DL的值最大时，则的值最大，此时的值最大，由∠ACB＝90°，AB＝2，∠ABC＝30°，得AC＝AB＝1，则BC＝＝，由S△ABC＝×2CF＝×1×，求得CF＝，而DL≤1，则DL最大＝1，求得＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：连结OD，作DL⊥AB于点L，CF⊥AB于点F，则DL∥CF，
∴△DEL∽△CEF，
∴＝，
∵CF为定值，
∴当DL的值最大时，则的值最大，此时的值最大，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝2，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝1，
∴BC＝＝＝，
∵S△ABC＝×2CF＝×1×，
∴CF＝，
∵DL≤OD，且OD＝AB＝1，
∴DL≤1，
∴DL最大＝1，
当DL＝1时，＝＝＝，
∴的最大值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°．
（2）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）设＝＝＝k，根据比例的性质得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入2x+3y﹣z＝18得出4k+9k﹣4k＝18，求出k，再求出x、y、z的值，最后求出x+y+z即可．
【解答】解：（1）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°
＝﹣1+2×
＝﹣1+
＝2﹣1；
（2）设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵2x+3y﹣z＝18，
∴4k+9k﹣4k＝18，
∴k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8，
∴x+y+z＝4+6+8＝18．
18．（6分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　　；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，
∴抽中C卡片的概率是．
故答案为：．
（2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种，
∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为＝．
19．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＝﹣2，x2＝6时，y1＝y2．
（1）求b的值；
（2）如果存在实数t，使得点T（t，2t）在此二次函数的图象上，求c的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，再根据对称轴公式列得，由此求出b；
（2）由抛物线与直线y＝2x有交点，即方程﹣x2+4x+c＝2x有实数根，根据判别式列得Δ＝（﹣2）2+4c≥0，由此求出c的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＝﹣2，x2＝6时，y1＝y2，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得b＝4；
（2）对于T（t，2t），设x＝t，y＝2t，得y＝2x，
由题意得，方程﹣x2+4x+c＝2x有实数根，
整理得x2﹣2x﹣c＝0，
∴Δ＝（﹣2）2+4c≥0，
解得c≥﹣1，
故c的取值范围为c≥﹣1．
20．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图所示，△ABC的三个顶点都在正方形网格格点上，请在网格中，按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A′BC′；
（2）在线段AC上找一个点E，使得．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）取格点M，N，使AM＝CN，且AM∥CN，则△AEM∽△CEN，进而可得＝，即点E为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′BC′即为所求．
（2）如图，取格点M，N，使AM＝CN，且AM∥CN，
可得△AEM∽△CEN，
∴＝，
即AE＝．
则点E即为所求．
21．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G．
（1）求证：DF2＝FG BF；
（2）当BD DF＝2AD DE时，求证：AE⊥DC．
【分析】（1）由菱形的性质得ED∥AB，则△EFD∽△AFB，得＝，由EG∥AD，证明△EFG∽△AFD，得＝，所以＝，即可证明DF2＝FG BF；
（2）连接AC交BD于点H，则BD＝2DH，由BD DF＝2AD DE，且AD＝DC，得2DH DF＝2DC DE，所以＝，而∠FDE＝∠CDH，即可证明△FDE∽△CDH，得∠DEF＝∠DHC＝90°，则AE⊥DC．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ED∥AB，
∴△EFD∽△AFB，
∴＝，
∵EG∥BC，AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴△EFG∽△AFD，
∴＝，
∴＝，
∴DF2＝FG BF．
（2）证明：连接AC交BD于点H，则AC⊥BD，DH＝BH，
∴BD＝2DH，
∵BD DF＝2AD DE，且AD＝DC，
∴2DH DF＝2DC DE，
∴＝，
∵∠FDE＝∠CDH，
∴△FDE∽△CDH，
∴∠DEF＝∠DHC＝90°，
∴AE⊥DC．
22．（10分）如图1，某款台灯由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高照明效果．
（1）求悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知光源D到桌面l的距离为30cm时照明效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
【分析】（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作BF⊥CE于点F，则EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，得出∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，根据CF＝BC sin53°，求出CF，最后根据CE＝CF+EF，即可求解；
（2）过点D作DH⊥CE于点G，DG⊥l于点G，推出CH＝CE﹣HE＝20cm，则，求出∠DCH＝60°，得出∠BCF＝37°，最后∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF，即可求解．
【解答】解：（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作BF⊥CE于点F，
∵AB⊥l，CE⊥l，BF⊥CE，
∴四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，
∴CF＝BC sin53°＝35×0.8＝28（cm），
∴CE＝CF+EF＝50（cm），
即悬臂端点C到桌面l的距离约为50cm；
（2）过点D作DH⊥CE于点G，DG⊥l于点G，
∵DH⊥CE，DG⊥l，CE⊥l，
∴四边形DHEG为矩形，
∴DG＝HE＝30cm，
∴CH＝CE﹣HE＝20cm，
∵CD＝40cm，
∴，
∴∠DCH＝60°，
∵∠CBF＝53°，BF⊥CE，
∴∠BCF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF＝23°．
23．（12分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若m＝2，点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，求n的取值范围；
（3）当m﹣3≤x≤5时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
【分析】（1）利用一元二次方程判别式判断抛物线与x轴一定有2个交点即可；
（2）先求出抛物线图象与x轴的交点为（0，0）和（4，0），根据条件列出关于n的两个不等式组，解出n的范围即可；
（3）根据条件得到抛物线的对称轴为直线x＝m，分三种情况讨论函数最大值与最小值的差为8，求出m值即可．
【解答】（1）证明：抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+4中，令y＝0，则抛物线转化成二次方程﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝4﹣m2，
Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（4﹣m2）＝4m2+16﹣4m2＝16＞0，
∴该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）∵m＝2，
∴y＝﹣x2+4x，
令y＝0，则﹣x2+4x＝0，即x1＝0，x2＝4，
∴抛物线图象与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，
∴①，即﹣2＜n＜0，②，即2＜n＜4，
综上所述，﹣2＜n＜0或2＜n＜4，
（3）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
①若m＜，即m＜2，
则当x＝m时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝﹣（5﹣m）2+4，
∴4﹣[﹣（5﹣m）2+4]＝8，
∴m1＝5+2（舍去），m2＝5﹣2（舍去），
②若2≤m≤5，则当x＝m时，ymax＝4，当x＝m﹣3时，ymin＝﹣5，
∵4﹣（﹣5）＝9≠8，不符合题意，舍去；
③若5＜m≤8时，则当x＝5时，ymax＝﹣（5﹣m）2+4，当x＝m﹣3时，ymin＝﹣5，
∴﹣（5﹣m）2+4﹣（﹣5）＝8，
∴m1＝6，m2＝4（舍去），
综上所述，m＝6．
24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点P是△ABC内一个动点，且∠BPC＝135°．
（1）试找出与∠ACP相等的角，并说明理由；
（2）如图2，连接AP并延长交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连接CQ．
①求证△ACP∽△AQC；
②求的最小值；
（3）在如图2的条件下，若BP＝PC，求证：．
【分析】（1）根据∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°，∠PBC+∠PCB＝45°，等量代换即可得到∠ACP＝∠PBC；
（2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到∠Q＝∠APC，即可证明；
②连接OB、CO，由△ACP∽△AQC，得到＝，当CQ经过圆心O时，的值最小，过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线，则AO是BC的垂直平分线，再由CO＝AC，得到CQ＝2AC，即可求的最小值为；
（3）由题意可知P点AM上，则∠PBC＝∠PCB＝∠ACP，过点P作PH⊥AC交于H点，设PM＝x，则PH＝x，分别求出AP＝x，AM＝（1+）x，AC＝（1+）x，PC2＝（4+2）x2，再由＝，即可证明．
【解答】（1）解：∵∠BPC＝135°，
∴∠PBC+∠PCB＝45°，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°，
∴∠ACP＝∠PBC；
（2）①证明：∵＝，
∴∠Q＝∠PBC，
∵∠ACP＝∠PBC，
∴∠Q＝∠APC，
∴△ACP∽△AQC；
②连接OB、CO，
∵∠BPC＝135°，
∴∠BOC＝90°，
∵△ACP∽△AQC，
∴＝，
∴＝，
当CQ经过圆心O时，的值最小，
过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线，
∴AO是BC的垂直平分线，
∵AM＝BM＝OM，
∴CO＝AC，
∴CQ＝2AC，
∴的最小值为；
（3）证明：∵BP＝PC，
∴P点AM上，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ACP，
过点P作PH⊥AC交于H点，
∴PH＝PM，
设PM＝x，则PH＝x，
∵∠PAH＝45°，
∴AP＝x，
∴AM＝（1+）x，AC＝（1+）x，PC2＝（4+2）x2，
∵＝，
∴（）2＝＝，
∴CQ2＝（2+）AC2．