浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷01（含解析）

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浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷
数学卷01
时间1：20分钟 总分：120分 范围：九上-九下第1章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列诗句表述的是随机事件的是（　　）
A．离离原上草，一岁一枯荣 B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小 D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
2．已知b＝2a，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
3．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
4．已知点C把线段AB黄金分割，且AC＜CB，那么下列等式中，成立的是（　　）
A．AC2＝CB AB B．CB2＝AC AB
C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（　　）
A．36° B．40° C．46° D．65°
6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）
7．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1﹣M2＝1则称函数y1和y2符合“特定规律”．以下函数y1和y2符合“特定规律”的是（　　）
A．和 B．和y2＝﹣x+8
C．和 D．和y2＝﹣x﹣8
8．已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若DB＝7，AD＝4，则BC的长为（　　）
A． B．9 C． D．
9．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（　　）
A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°
10．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．一个多边形的每一个外角都是30°，这个多边形是 　 　边形．
12．如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　 　．
13．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为 　 　米．（结果可带根号）
14．如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了 　 　米．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　 　．
16．如图，∠DOE＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，当点A，B分别在射线OD，OE上滑动时，连结OC，则OC的最大值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：tan60°﹣．
18．（6分）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 　 　；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
19．（8分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+c（t＞0），其图象交y轴于点M（0，﹣3）．
（1）若它的图象过点（1，﹣4），求t的值；
（2）如果A（m，a），B（m﹣2，a），C（4，b）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜4．求m的取值范围．
20．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．
（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；
（2）求AC的长．
21．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
22．（10分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　 　°；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
23．（12分）已知关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣x﹣m2+6m﹣7（m是常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点A（﹣1，2），
①求m的值；
②若该二次函数的图象与x轴交于点B，C（点C在左侧），求△ABC的面积．
（2）若该二次函数的图象与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值．
24．（12分）如图1，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D为的中点，过D作DE⊥AB于E，交BC于点F，交⊙O于点H．
（1）求证：DF＝BF；
（2）如图2，延长AC，ED交于点G，连结AD．
①求证：DE2＝EF EG；
②若，求的值．（用含m的式子表示）
浙江省2024年九年级（上）第二次月考常考题模拟检测卷
数学卷01
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列诗句表述的是随机事件的是（　　）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、离离原上草，一岁一枯荣是必然事件；
B、危楼高百尺，手可摘星辰是不可能事件；
C、会当凌绝顶，一览众山小是必然事件；
D、东边日出西边雨，道是无晴却有晴是随机事件；
故选：D．
2．已知b＝2a，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【分析】把b＝2a代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可．
【解答】解：∵b＝2a，
∴＝＝＝3．
故选：D．
3．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）．
故选：D．
4．已知点C把线段AB黄金分割，且AC＜CB，那么下列等式中，成立的是（　　）
A．AC2＝CB AB B．CB2＝AC AB
C． D．
【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比，从而得出答案．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且CB＞AC，
∴，
∴CB2＝AC AB．
故选：B．
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（　　）
A．36° B．40° C．46° D．65°
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠DAB＝36°，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝54°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，
∴∠DAB＝∠BCD＝36°，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴点B的对应点D的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），
故选：A．
7．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1﹣M2＝1则称函数y1和y2符合“特定规律”．以下函数y1和y2符合“特定规律”的是（　　）
A．和
B．和y2＝﹣x+8
C．和
D．和y2＝﹣x﹣8
【分析】根据题干信息，直接令M1﹣M2＝1，若方程有实数根，则存在；若方程没有实数根，则不存在．
【解答】解：A、当x＝m时，，，
∴＝m2+8+m2﹣2m＝2m2﹣2m+8，
令2m2﹣2m+8＝1，
则2m2﹣2m+7＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×7＝4﹣56＝﹣52＜0，
∴此方程无实数根，
即不存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项不符合题意；
B、当x＝m时，，M2＝﹣m+8，
∴＝m2+2m﹣8，
令m2+2m﹣8＝1，
则m2+2m﹣9＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×（﹣9）＝4+36＝40＞0，
∴存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项符合题意；
C、当x＝m时，，，
∴＝m2+8+m2+2m＝2m2+2m+8，
令2m2+2m+8＝1，
则2m2+2m+7＝0，
∵Δ＝22﹣4×2×7＝4﹣56＝﹣52＜0，
∴此方程无实数根，
即不存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项不符合题意；
D、当x＝m时，，M2＝﹣m﹣8，
∴＝m2+2m+8，
令m2+2m+8＝1，
则m2+2m+7＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×7＝4﹣28＝﹣24＜0，
∴不存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项不符合题意；
故选：B．
8．已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若DB＝7，AD＝4，则BC的长为（　　）
A． B．9 C． D．
【分析】取点D在⊙O上的对应点E，连接CE、BE、CD、AC，过C点作CF⊥AD于F点，根据四边形ABEC内接于⊙O，有∠A+∠E＝180°，根据折叠的性质有：∠BEC＝∠BDC，可证明∠A＝∠ADC，即△ACD是等腰三角形，则有，进而有BF＝BD+DF＝9，再根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：取点D在⊙O上的对应点E，连接CE、BE、CD、AC，过C点作CF⊥AD于F点，如图，
∵四边形ABEC内接于⊙O，
∴∠A+∠E＝180°，
∵点D在⊙O上的对应点为点E，
∴根据折叠的性质有：∠BEC＝∠BDC，
∵∠BDC+∠CDA＝180°，
∴∠E+∠CDA＝180°，
∵∠A+∠E＝180°，
∴∠A＝∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵CF⊥AD，AD＝4，
∴，
∵BD＝7，
∴BF＝BD+DF＝9，
∵CF⊥AD，
∴△CFB是直角三角形，
∵∠ABC＝30°，
∴在Rt△CFB中，，
∵在Rt△CFB中，CF2+BF2＝BC2，
∴，
∴，（负值舍去），
故选：C．
9．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（　　）
A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°
【分析】根据正多边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系计算正多边形的周长与直径的比值即可．
【解答】解：如图，连接OA1，OA2，过点O作OM⊥A1A2，垂足为M，设⊙O的半径为R，
∵十二边形A1A2…A12是圆内接正十二边形，
∴∠A1OA2＝＝30°，
又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，
∴∠A1OM＝15°，
在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，
∴A1M＝R sin15°，
∴A1A2＝2A1M＝2R sin15°，
∴正十二边形A1A2…A12的周长为12A1A2＝2R sin15°×12，
∴π＝＝12sin15°，
故选：C．
10．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．一个多边形的每一个外角都是30°，这个多边形是 　十二　边形．
【分析】根据多边形的外角和进行计算即可．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是30°，
∴它的边数是360°÷30°＝12，
即这个多边形是十二边形，
故答案为：十二．
12．如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　∠B＝∠A（答案不唯一）　．
【分析】由相似三角形的判定可直接求解．
【解答】解：添加∠B＝∠A，
∵∠B＝∠A，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
故答案为：∠B＝∠A（答案不唯一）．
13．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为 　2　米．（结果可带根号）
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（2，0）和（0，2）代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，
把y＝0.5代入得：x＝±，
则水面的宽度是2米．
故答案为：2．
14．如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了 　5　米．
【分析】根据坡度的概念、特殊角的三角函数值求出∠B，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度为1：，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×10＝5（米），
∴木箱升高了5米，
故答案为：5．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　2　．
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x
将点B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案为：2．
16．如图，∠DOE＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，当点A，B分别在射线OD，OE上滑动时，连结OC，则OC的最大值为 　18　．
【分析】在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，勾股定理得AB＝15，点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，当点C、Q、O共线时，OC最大，再求出CQ的长即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝15，
在AB的左侧作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，
∴点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，
∵∠AQB+∠ACB＝180°，
∴点A、C、B、Q共圆，
∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，
当点C、Q、O共线时，OC最大，
此时，OQ＝，CQ＝，
∴OC的最大值为OQ+CQ＝+＝18，
故答案为：18．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：tan60°﹣．
【分析】化简二次根式，零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后去括号，再计算．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣（2﹣）
＝﹣2+1﹣2+
＝﹣1．
18．（6分）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 　　；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位新生分到同一个班的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，
∴“学生甲分到A班”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有3种，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为＝．
19．（8分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+c（t＞0），其图象交y轴于点M（0，﹣3）．
（1）若它的图象过点（1，﹣4），求t的值；
（2）如果A（m，a），B（m﹣2，a），C（4，b）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜4．求m的取值范围．
【分析】（1）先求出c＝﹣3，再将点（1，﹣4）代入抛物线y＝x2﹣2tx﹣3求出t值即可；
（2）根据二次函数对称性得到m＝t+1，在根据b＜4得到16﹣8t﹣3＜4求出m＝t+1，则点B、A到抛物线对称轴距离比点C近，将对称轴t分两种情况讨论得出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2tx+c（t＞0）图象交y轴于点M（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
将点（1，﹣4）代入抛物线y＝x2﹣2tx﹣3得：1﹣2t﹣3＝﹣4，
解得：t＝1；
（2）A（m，a），B（m﹣2，a）两点纵坐标相等，
根据二次函数对称性可知：，即m＝t+1，
将点C（4，b）代入y＝x2﹣2tx+c得：16﹣8t﹣3＝b，
∵b＜4，
∴16﹣8t﹣3＜4，解得t＞，
∴m＝t+1，
∵抛物线开口向上，a＜b＜4，
∴点B、A到抛物线对称轴距离比点C近，
当t＞4时，即m＝t+1＞5，只需满足m﹣2＞4，整理得m＞6；
当0＜t＜4时，即0＜m﹣1＜4，则1＜m＜5，只需满足m＜4，此时整理为：1＜m＜4．
综上分析，m的取值范围是：或m＞6．
20．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．
（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；
（2）求AC的长．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P．
（2）利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，
则点P即为所求．
（2）由勾股定理得，AC＝＝．
21．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
【分析】（1）由菱形的性质证得∠BOE＝∠AOB＝90°，再由同角的余角相等证得∠BAO＝∠EBO，利用有两个角分别相等的三角形相似判定△BEO∽△ABO，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论；
（2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定△ABE∽△BOE，从而可得比例式，利用勾股定理求得EB的长，再由比例式可得EO的值，进而得出AO的值，然后由关系式EC＝AC﹣OE＝AO﹣EO求得答案即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵EB⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EBO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBO，
又∵∠BOE＝∠AOB，
∴△BEO∽△ABO，
∴，
（2）∵∠ABE＝∠BOE＝90°，∠AEB＝∠BEO，
∴△ABE∽△BOE，
∴＝，
已知AE＝13，AB＝12，由勾股定理得：EB＝＝＝5，
∴，
∴EO＝，
∴AO＝AE﹣EO＝13﹣＝，
∴EC＝AC﹣OE＝AO﹣EO＝．
22．（10分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　20　°；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【分析】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG＝70°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BGC中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
故答案为：20；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，
则GE＝CF，∠BGC＝90°，
∵∠CBE＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm，
∴BE＝AB sin60°＝24×＝12（cm），
在Rt△BGC中，BC＝10cm，
∴BG＝BC cos20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE﹣BG＝12﹣9.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
23．（12分）已知关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣x﹣m2+6m﹣7（m是常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点A（﹣1，2），
①求m的值；
②若该二次函数的图象与x轴交于点B，C（点C在左侧），求△ABC的面积．
（2）若该二次函数的图象与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值．
【分析】（1）①直接利用待定系数法求解，再由二次函数的定义即可得出结果；
②先求出二次函数与x轴的交点，然后求面积即可；
（2）先确定纵坐标的解析式，然后化为顶点式即可求解．
【解答】解：（1）①∵y＝（m﹣2）x2﹣x﹣m2+6m﹣7的图象过点（﹣1，2），
∴（m﹣2）+1﹣m2+6m﹣7＝2，
∴m2﹣7m+10＝0，
∴m1＝2，m2＝5，
∵m＝5，
②∵y＝3x2﹣x﹣2，
当y＝0时，即3x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝1，，
∵点C的左侧，
∴点C，点B（1，0），
∴△ABC的面积＝；
（2）当x＝0时，y＝﹣m2+6m﹣7，
∴点P的纵坐标为﹣m2+6m﹣7，又y＝﹣m2+6m﹣7＝﹣（m﹣3）2+2，
∵﹣1＜0，
∴图象开口向下，
∴m＝3时，y有最大值2，
∴点P纵坐标的最大值为2．
24．（12分）如图1，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D为的中点，过D作DE⊥AB于E，交BC于点F，交⊙O于点H．
（1）求证：DF＝BF；
（2）如图2，延长AC，ED交于点G，连结AD．
①求证：DE2＝EF EG；
②若，求的值．（用含m的式子表示）
【分析】（1）根据题意可得，进而得出∠FDB＝∠DBF，即可求证；
（2）①证明△ADE∽△DBE得出DE2＝AE BE，再证明△AEG∽△FEB得出EF EG＝AE BE，进而可得出DE2＝EF EG；
②由②由可得＝m，设AB＝x，则BD＝mx，先根据勾股定理求出AD，说明△BDM∽△ADB，△ACM∽△ADB，根据相似比表示出AC即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D为弧BC的中点，
∴，
∵DE⊥AB，AB是直径，
∴，
∴，
∴∠FDB＝∠DBF，
∴DF＝BF；
（2）①证明：由①知∠DAE＝∠BDE，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴△ADE∽△DBE，
∴，
∴DE2＝AE BE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠GAE＝∠EFB，
∵∠AEG＝∠FEB＝90°，
∴△AEG∽△FEB，
∴，
∴EF EG＝AE BE，
∴DE2＝EF EG；
②解：∵，
∴＝m，
设AB＝x，则BD＝mx，
由勾股定理的AD＝＝x，
如图：
∵点D为弧BC的中点，
∴∠DAB＝∠DBM，
∵∠ADB＝∠BDM，
∴△BDM∽△ADB，
∴，即，
解得DM＝，
∴AM＝AD﹣DM＝x﹣＝x，
∵∠CAM＝∠DAB，∠ACM＝∠BCA，
∴△ACM∽△ADB，
∴，即，
解得AC＝（1﹣2m2）x，
∴＝＝2．