山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学（A卷）（含答案）

2024—2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题（A）
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列选项中，与直线平行的直线是（）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（）
A. B. C. D.
4. 已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（）
A. 10 B. 49 C. 50 D. 1201
6. 已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
7. 直线l：与圆的公共点个数为（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
8. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个圆柱侧面，可以得到以下哪些图形（）
A两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆
10. 设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（）
A. l与圆A相交 B. 当点P，A，B共线时，
C. 时，的面积为2或6 D. 满足的点P恰有2个
11. 已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（）
A. 双曲线的离心率
B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则渐近线方程为
D. 若，则的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆与x轴相切，则__________.
13. 已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________.
14. 已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：.
（1）求C的面积；
（2）若直线l：交C于A，B两点，求.
16. 已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值.
17. 已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形.
（1）求的周长的取值范围：
（2）求的面积S的最大值.
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．
19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.
（1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：
（2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；
（3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.
2024—2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题（A）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】CD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】 ①. ②.
14.【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）由椭圆C的方程可知的值，代入椭圆的面积公式即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.
【小问1详解】
由椭圆C的方程可知，，
所以，椭圆C的面积；
【小问2详解】
联立，得，
设，则，，
∴，
所以，.
16.
【解析】
【分析】根据与同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式求解出的值.
【详解】解：将直线与椭圆联立，
消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，
则，解得，
设到的距离为，到的距离为，易知，，
则，，
所以，解得或(舍去)，
故.
17.
【解析】
【分析】（1）由椭圆定义得到的周长为，设，且，求出，求出周长的取值范围；
（2）表达出，结合，得到面积的最大值.
【小问1详解】
由题可得，，
则，故，
所以为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为，
连接，由对称性可知，，
故，
则的周长为，
设，，
因为三点构成三角形，故不共线，所以，
故且，
则，
因为，故，
所以的周长；
【小问2详解】
，
不共线，故，
所以，S的最大值为12.
18.
【解析】
【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程；
（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．
【小问1详解】
由题可知，其中，所以,
又点在椭圆上，所以，即，解得，
所以椭圆E的方程为．
【小问2详解】
由椭圆的方程，得，
所以，
设，其中，因为，
所以，
又点在椭圆上，所以，
联立方程组，得，
解得或（舍），
当时，，即或．
所以当的坐标为时，直线的方程为；
当的坐标为时，直线的方程为．
综上，直线的方程为或.
19.
【解析】
【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可；
（2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围；
（3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.
【小问1详解】
根据“切立方”的定义，设直线方程，可得
，，
，
，；
【小问2详解】
由正方形A的方程为，则，
由正方形A为双曲线的一个“切立方”，
则，联立整理得，
则，
整理得，即，
由图可知，则，
所以
【小问3详解】
由曲线，设切点为，
联立，
得，
即，
点在曲线和直线上，整理得，
则过该点的一条切线方程为，
即，
由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”，
则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：，
设第三个切点为（），同理可得另两条切线为，
若存在正方形，即，
由此可设，，
代入消元可得，
设，
由，，且在上，函数图象连续不间断，
则由零点存在性定理可知在上有解，
因此曲线C存在切立方.