4.1 数列的概念-数列的概念与简单表示法 课后训练（含解析）-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.1 数列的概念-数列的概念与简单表示法 课后训练（含解析）-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 28.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-24 18:16:48 | ||
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文档简介
4.1 数列的概念
数列的概念与简单表示法
A级——基础过关练
1．已知数列1，，，，，…，则3是它的( )
A．第30项 B．第31项
C．第32项 D．第33项
2．在数列{an}中，an＝，则{an}( )
A．是常数列 B．不是单调数列
C．是递增数列 D．是递减数列
3．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
4．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝( )
A． B．－
C． D．
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，则“k≤2”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．`(多选)下列式子中不能作为数列1，0，1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
7．若数列{an}的通项公式为an＝n2(n－2)，其中n∈N*，则a5＝________
8．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为________．
10．已知数列{an}的通项公式是an＝．
(1)求数列的第10项．
(2)是不是数列中的项？
(3)判断数列{an}的增减性．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年临城开学考试)费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)．若bn＝(n∈N*)，则( )
A．数列{bn}的最大项为b1 B．数列{bn}的最大项为b6
C．数列{bn}的最小项为b1 D．数列{bn}的最小项为b5
12．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则数列的奇数项的通项公式a2n－1＝________，数列的第20项与21项的和为________．
13．已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．
(1)求证：an＞－2．
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
C级——创新拓展练
14．已知无穷数列，，，，…．
(1)求出这个数列的一个通项公式．
(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
答案解析
1、【答案】C
【解析】因为3＝＝，所以3是数列的第32项．故选C．
2、【答案】D
【解析】在数列{an}中，an＝＝1＋，由反比例函数的性质得{an}是n∈N*时的单调递减数列．故选D．
3、【答案】A
【解析】an＝－2＋，因为n∈N*，5＜＜6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A．
4、【答案】C
【解析】依题意知a5－a4＝－＝＋－＝．故选C．
5、【答案】A
【解析】根据题意，已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＝[(n＋1)2－k(n＋1)＋5]－(n2－kn＋5)＝2n＋1－k＞0(n∈N*)，所以k＜2n＋1．因为n∈N*，所以k＜3，所以当k≤2时，数列{an}为递增数列．而当数列{an}为递增数列时，k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A．
6、【答案】ACD
【解析】对于A，当n＝1时，a1＝0，故A错误；对于B，奇数项为1，偶数项为0，故B正确；对于C，当n＝1时，a1＝，故C错误；对于D，当n＝1时，a1＝0，故D错误．故选ACD．
7、【答案】75
【解析】因为an＝n2(n－2)，所以a5＝25×3＝75．
8、【答案】17
【解析】由n2＋2n＝323，解得n＝17(负值已舍去)，所以323是数列{n(n＋2)}的第17项．
9、【答案】1－
【解析】因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－．
10、解：(1)数列的第10项为a10＝＝．
(2)令an＝，即＝，解得n＝7．
∴是数列中的项，且是数列的第7项．
(3)(方法一，比较an＋1与an的大小)
∵an＋1－an＝－＝－＝＞0，
∴an＋1＞an．
∴数列{an}为递增数列．
(方法二，从函数角度判断)
an＝＝，
∵f(n)＝1＋为关于n的减函数且其值恒正，
∴an＝为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列．
11、【答案】BD
【解析】bn＝＝，因为函数f(n)＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn＜0，当n≥6时，bn＞0，所以数列{bn}的最大项为b6，最小项为b5．
12、【答案】2(n－1)n 420
【解析】由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式a2n＝2n2，所以a20＝2×102＝200，奇数项的通项公式a2n－1＝2(n－1)n，所以a21＝a2×11－1＝2×10×11＝220，所以a20＋a21＝200＋220＝420．
13、(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋．
因为n∈N*，所以an＞－2．
(2)解：数列{an}为递减数列．
因为an＝－2＋，
所以an＋1－an＝－＝－＝＜0，即an＋1＜an．
所以数列{an}为递减数列．
14、解：(1)因为数列的分子依次为4，9，16，25，…，可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1．所以数列的一个通项公式为an＝(n＝1，2，…)．
(2)当≤an≤时，可得≤≤．
由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2．
由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5．
所以2≤n≤5．综上所述，该数列在内有项，并且有4项．
数列的概念与简单表示法
A级——基础过关练
1．已知数列1，，，，，…，则3是它的( )
A．第30项 B．第31项
C．第32项 D．第33项
2．在数列{an}中，an＝，则{an}( )
A．是常数列 B．不是单调数列
C．是递增数列 D．是递减数列
3．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
4．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝( )
A． B．－
C． D．
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，则“k≤2”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．`(多选)下列式子中不能作为数列1，0，1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
7．若数列{an}的通项公式为an＝n2(n－2)，其中n∈N*，则a5＝________
8．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为________．
10．已知数列{an}的通项公式是an＝．
(1)求数列的第10项．
(2)是不是数列中的项？
(3)判断数列{an}的增减性．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年临城开学考试)费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)．若bn＝(n∈N*)，则( )
A．数列{bn}的最大项为b1 B．数列{bn}的最大项为b6
C．数列{bn}的最小项为b1 D．数列{bn}的最小项为b5
12．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则数列的奇数项的通项公式a2n－1＝________，数列的第20项与21项的和为________．
13．已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．
(1)求证：an＞－2．
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
C级——创新拓展练
14．已知无穷数列，，，，…．
(1)求出这个数列的一个通项公式．
(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
答案解析
1、【答案】C
【解析】因为3＝＝，所以3是数列的第32项．故选C．
2、【答案】D
【解析】在数列{an}中，an＝＝1＋，由反比例函数的性质得{an}是n∈N*时的单调递减数列．故选D．
3、【答案】A
【解析】an＝－2＋，因为n∈N*，5＜＜6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A．
4、【答案】C
【解析】依题意知a5－a4＝－＝＋－＝．故选C．
5、【答案】A
【解析】根据题意，已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＝[(n＋1)2－k(n＋1)＋5]－(n2－kn＋5)＝2n＋1－k＞0(n∈N*)，所以k＜2n＋1．因为n∈N*，所以k＜3，所以当k≤2时，数列{an}为递增数列．而当数列{an}为递增数列时，k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A．
6、【答案】ACD
【解析】对于A，当n＝1时，a1＝0，故A错误；对于B，奇数项为1，偶数项为0，故B正确；对于C，当n＝1时，a1＝，故C错误；对于D，当n＝1时，a1＝0，故D错误．故选ACD．
7、【答案】75
【解析】因为an＝n2(n－2)，所以a5＝25×3＝75．
8、【答案】17
【解析】由n2＋2n＝323，解得n＝17(负值已舍去)，所以323是数列{n(n＋2)}的第17项．
9、【答案】1－
【解析】因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－．
10、解：(1)数列的第10项为a10＝＝．
(2)令an＝，即＝，解得n＝7．
∴是数列中的项，且是数列的第7项．
(3)(方法一，比较an＋1与an的大小)
∵an＋1－an＝－＝－＝＞0，
∴an＋1＞an．
∴数列{an}为递增数列．
(方法二，从函数角度判断)
an＝＝，
∵f(n)＝1＋为关于n的减函数且其值恒正，
∴an＝为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列．
11、【答案】BD
【解析】bn＝＝，因为函数f(n)＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn＜0，当n≥6时，bn＞0，所以数列{bn}的最大项为b6，最小项为b5．
12、【答案】2(n－1)n 420
【解析】由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式a2n＝2n2，所以a20＝2×102＝200，奇数项的通项公式a2n－1＝2(n－1)n，所以a21＝a2×11－1＝2×10×11＝220，所以a20＋a21＝200＋220＝420．
13、(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋．
因为n∈N*，所以an＞－2．
(2)解：数列{an}为递减数列．
因为an＝－2＋，
所以an＋1－an＝－＝－＝＜0，即an＋1＜an．
所以数列{an}为递减数列．
14、解：(1)因为数列的分子依次为4，9，16，25，…，可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1．所以数列的一个通项公式为an＝(n＝1，2，…)．
(2)当≤an≤时，可得≤≤．
由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2．
由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5．
所以2≤n≤5．综上所述，该数列在内有项，并且有4项．