4.1 数列的概念-数列的通项公式与递推公式 课后训练（含解析）-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册
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| 名称 | 4.1 数列的概念-数列的通项公式与递推公式 课后训练（含解析）-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 31.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-24 18:24:44 | ||
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文档简介
4.1 数列的概念
数列的通项公式与递推公式
A级——基础过关练
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n3，则a5＋a6的值为( )
A．27 B．91
C．152 D．218
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝，n∈N*，则a2＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14
C．15 D．16
5．已知数列{an}满足：对任意的n∈N*，均有an＋2＝an＋1－an成立，且a1＝1，a2＝2，则该数列的前2 024项和S2 024＝( )
A．0 B．1
C．3 D．4
6．(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列结论正确的是( )
A．a2＝3 B．a3＝6
C．S4＝20 D．an＝2n－1
7．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝________．
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n－21，前n项和为Sn，若n＞m，则Sn－Sm的最大值是________．
10．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求an．
B级——综合运用练
11．(多选)由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则( )
A．b3的值是5 B．b4的值是9
C．b5的值是15 D．b6的值是33
12．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a8＝2，则a1＝________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2 022＝________．
13．已知在数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，求通项公式an．
C级——创新拓展练
已知函数f(x)＝x－．数列{an}满足f(an)＝－2n，且an＞0．求数列{an}的通项公式．
答案解析
1、【答案】B
【解析】由题可知an－an－1＝n(n∈N*，n≥2)．故选B．
2.【答案】C
【解析】因为数列{an}的前n项和为Sn＝n3，所以a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152．故选C．
3、【答案】A
【解析】因为Sn＝，所以a1＝S1＝＝1．因为S2＝a1＋a2＝，所以a2＝－1＝－．故选A．
4、【答案】A
【解析】由an＋1＝ an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13．故选A．
5、【答案】C
【解析】因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝－an，所以an＝an＋6，所以数列{an}中的项具有周期性，T＝6，由a1＝1，a2＝2，依次对an＋2＝an＋1－an赋值可得，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，一个周期内6项的和为零，而2 024÷6＝337……2，所以该数列的前2 024项和S2 024＝a1＋a2＝3．故选C．
6、【答案】AD
【解析】由(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，得(n－1)an＋(n－1)＝nan－1＋n(n≥2)，又a1＝1，所以当n≥2时，＝，所以an＋1＝(a1＋1)×××…×＝2×××…×＝2n，从而an＝2n－1．当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1．所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，a4＝2×4－1＝7．所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋5＋7＝16．故选AD．
7、【答案】－
【解析】由a1＝0，可求a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－．
8、【答案】2
【解析】因为所以所以an＝(－1)n＋3，所以a3＝(－1)3＋3＝2．
9、【答案】10
【解析】an＝－n2＋10n－21＝－(n－3)(n－7)，则当3≤n≤7时，an≥0，当n≤2或n≥8时，an＜0，所以Sn的最大值为S6或S7，Sm的最小值为S2或S3，故Sn－Sm的最大值为S6－S3＝a4＋a5＋a6＝3＋4＋3＝10．
10、解：由题意得an＋1－an＝ln ，
所以an－an－1＝ln (n≥2)，
an－1－an－2＝ln ，
…，
a2－a1＝ln ．
所以当n≥2时，
an－a1＝ln ＝ln n，
所以an＝2＋ln n(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2也符合上式，
所以an＝2＋ln n(n∈N*)．
11、【答案】ABD
【解析】因为bn＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33．故选ABD．
12、【答案】 1 011
【解析】∵数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，∴an＋2＝＝＝．∴an＋3＝＝＝an．∴数列{an}是周期为3的数列．∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝，同理可得a6＝－1，则a1＝a7＝，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－1．∴S2 022＝(a1＋a2＋a3)×674＝×674＝1 011．
13、解：当n≥2时，因为(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，
所以＝，
所以···…··＝×××…··＝．
所以＝，所以an＝．
当n＝1时，a1＝1符合上式，
所以an＝，n∈N*．
14、解：因为f(x)＝x－，
所以f(an)＝an－，
因为f(an)＝－2n，
所以an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0．
所以an＝－n±．
因为an＞0，所以an＝－n．
数列的通项公式与递推公式
A级——基础过关练
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n3，则a5＋a6的值为( )
A．27 B．91
C．152 D．218
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝，n∈N*，则a2＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14
C．15 D．16
5．已知数列{an}满足：对任意的n∈N*，均有an＋2＝an＋1－an成立，且a1＝1，a2＝2，则该数列的前2 024项和S2 024＝( )
A．0 B．1
C．3 D．4
6．(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列结论正确的是( )
A．a2＝3 B．a3＝6
C．S4＝20 D．an＝2n－1
7．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝________．
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n－21，前n项和为Sn，若n＞m，则Sn－Sm的最大值是________．
10．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求an．
B级——综合运用练
11．(多选)由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则( )
A．b3的值是5 B．b4的值是9
C．b5的值是15 D．b6的值是33
12．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a8＝2，则a1＝________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2 022＝________．
13．已知在数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，求通项公式an．
C级——创新拓展练
已知函数f(x)＝x－．数列{an}满足f(an)＝－2n，且an＞0．求数列{an}的通项公式．
答案解析
1、【答案】B
【解析】由题可知an－an－1＝n(n∈N*，n≥2)．故选B．
2.【答案】C
【解析】因为数列{an}的前n项和为Sn＝n3，所以a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152．故选C．
3、【答案】A
【解析】因为Sn＝，所以a1＝S1＝＝1．因为S2＝a1＋a2＝，所以a2＝－1＝－．故选A．
4、【答案】A
【解析】由an＋1＝ an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13．故选A．
5、【答案】C
【解析】因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝－an，所以an＝an＋6，所以数列{an}中的项具有周期性，T＝6，由a1＝1，a2＝2，依次对an＋2＝an＋1－an赋值可得，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，一个周期内6项的和为零，而2 024÷6＝337……2，所以该数列的前2 024项和S2 024＝a1＋a2＝3．故选C．
6、【答案】AD
【解析】由(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，得(n－1)an＋(n－1)＝nan－1＋n(n≥2)，又a1＝1，所以当n≥2时，＝，所以an＋1＝(a1＋1)×××…×＝2×××…×＝2n，从而an＝2n－1．当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1．所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，a4＝2×4－1＝7．所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋5＋7＝16．故选AD．
7、【答案】－
【解析】由a1＝0，可求a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－．
8、【答案】2
【解析】因为所以所以an＝(－1)n＋3，所以a3＝(－1)3＋3＝2．
9、【答案】10
【解析】an＝－n2＋10n－21＝－(n－3)(n－7)，则当3≤n≤7时，an≥0，当n≤2或n≥8时，an＜0，所以Sn的最大值为S6或S7，Sm的最小值为S2或S3，故Sn－Sm的最大值为S6－S3＝a4＋a5＋a6＝3＋4＋3＝10．
10、解：由题意得an＋1－an＝ln ，
所以an－an－1＝ln (n≥2)，
an－1－an－2＝ln ，
…，
a2－a1＝ln ．
所以当n≥2时，
an－a1＝ln ＝ln n，
所以an＝2＋ln n(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2也符合上式，
所以an＝2＋ln n(n∈N*)．
11、【答案】ABD
【解析】因为bn＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33．故选ABD．
12、【答案】 1 011
【解析】∵数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，∴an＋2＝＝＝．∴an＋3＝＝＝an．∴数列{an}是周期为3的数列．∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝，同理可得a6＝－1，则a1＝a7＝，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－1．∴S2 022＝(a1＋a2＋a3)×674＝×674＝1 011．
13、解：当n≥2时，因为(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，
所以＝，
所以···…··＝×××…··＝．
所以＝，所以an＝．
当n＝1时，a1＝1符合上式，
所以an＝，n∈N*．
14、解：因为f(x)＝x－，
所以f(an)＝an－，
因为f(an)＝－2n，
所以an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0．
所以an＝－n±．
因为an＞0，所以an＝－n．