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第二十一章 一元二次方程 章末复习小结（1）
基本知识1 导学案
知识梳理
考点1 一元二次方程的概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式： ax2＋bx＋c=0 (a，b，c为常数，a≠0)
a是 b是 c是
考点精讲
例1 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2-x（x+3）=0 B．ax2+bx+c=0
C．x2-2x-3=0 D．x2-2y-1=0
针对训练
1.方程3x2-x-2=-x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
知识梳理
考点2一元二次方程的根
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0 )有两个 的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0 )有两个 的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0 ) 实数根.
考点精讲
例2 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ 25
【重要变形】
例3关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+m=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设 x1，x2 是方程的两根，且=3x1x2-14，求m的值.
知识梳理
考点3解一元二次方程的方法
各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
考点精讲
例4 用适当的方法解方程：
知识梳理
考点4一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
几种常见类型：
考点精讲
例5 某小型快递公司，今年5月份与7月份完成的快递件数分别为5万件和6.05万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同.求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率.中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 一元二次方程 章末复习小结（1）
基本知识1 教学设计
学习目标：
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
重点：复习一元二次方程概念、解法和应用，建立本章知识结构.
难点：列一元二次方程解决实际问题.
知识梳理
考点1 一元二次方程的概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式： ax2＋bx＋c=0 (a，b，c为常数，a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数 c是常数项
考点精讲
例1 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ C ）
A．x2-x（x+3）=0 B．ax2+bx+c=0
C．x2-2x-3=0 D．x2-2y-1=0
针对训练
1.方程3x2-x-2=-x2-3+x的二次项系数是 4 ，一次项系数是 -2 ，常数项是 1
知识梳理
考点2一元二次方程的根
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0 )有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0 )有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0 )无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
考点精讲
例2 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ 25
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】
例3关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+m=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设 x1，x2 是方程的两根，且=3x1x2-14，求m的值.
解：(1) 根据题意得Δ=[-(2m+3)]2 4(m2 + m)=12m+1≥0
解得 m≥
(2) 根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2 =m2+m，
∵ =12，∴(x1+x2)2 2x1x2= 2x1x2-14
∴(2m+1)2 2(m2+m)= 3(m2+m)-14
解得m1=13，m2=-1(不合题意，舍去)
故m的值是13
知识梳理
考点3解一元二次方程的方法
各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
配方法 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
公式法 ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
因式分解 (x + m) （x + n）＝0
考点精讲
例4 用适当的方法解方程：
解： 解：x2+2x=48
3x-1=±2 x2+2x+12=48+12
∴x1=1，x2=- (x+1)2=49
x+1=±
∴x1= -8，x2=
知识梳理
考点4一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．
列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
几种常见类型：
传播问题
握手类型问题
平均变化率问题
销售利润问题
数字问题
几何图形问题
考点精讲
例5 某小型快递公司，今年5月份与7月份完成的快递件数分别为5万件和6.05万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同.求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率.
解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率是x，
根据题意得5（1-x)2=6.05
解得 x1=-2.1 (舍去）, x2=0.1=10%.
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率是10%.
课堂小结
作业布置
见精准作业单
板书设计中小学教育资源及组卷应用平台
课前诊测
已知关于x的一元二次方程x2+3x-4=0的一个根为1，则a的值为（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.
精准作业
必做题
1.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+4x+（m2-4）=0有一个根为0，则实数m的值为
2.方程x2-2x-24=0的根是（ ）
A.x1=6，x2=4 B.x1=6，x2=-4
C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4
3.解下列方程
1.（2x+3）2=（3x+2）2
（2）5（x2-x）=3（x2+x）
已知关于x的方程x2-（m+2）x+2m+1=0
（1）求证：方程有两个不等的实数根.
（2）若次方程的一个根为3求出方程的另一个根及m的值.
一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数.
选做题
某蔬菜店以每千克2元的价格购进某种绿色蔬菜若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种蔬菜每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出260千克，蔬菜店决定降价销售．若将这种蔬菜每千克售价降低x元．
(1)每天的销售量是_________千克（用含x的代数式表示）；
(2)销售这种蔬菜要想每天盈利300元，每千克的售价需降低多少元？
课前诊测
已知关于x的一元二次方程x2+3x-4=0的一个根为1，则a的值为（ C ）
A.-2 B.-1 C.1 D.
精准作业
必做题
1.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+4x+（m2-4）=0有一个根为0，则实数m的值为 -2
2.方程x2-2x-24=0的根是（ B ）
A.x1=6，x2=4 B.x1=6，x2=-4
C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4
3.解下列方程
1.（2x+3）2=（3x+2）2
解：开方得
2x+3=±（3x+2）
x1=1，x2=-1
（2）5（x2-x）=3（x2+x）
解：5x2-5x-3x2-3x=0
x2-4x=0
（x-4）x=0
x1=4,x2=0
已知关于x的方程x2-（m+2）x+2m+1=0
（1）求证：方程有两个不等的实数根.
（2）若次方程的一个根为3，求出方程的另一个根及m的值.
解：（1）证明：由题意
得Δ=（m+3）2-4（2m+1）=m2-2m+5=（m-1）2+4
∵（m-1）2≥0
∴Δ＞0
方程有两个不等的实数根
（2）将x=3代入方程
得9-3（m+3）+2m+1=0
解得m=1
∴原方程为x2-4x+3=0
解得x1=1，x2=3
∴方程的另一个根为1，m的值为1
一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方恰好等于这个解：设十位数字是x，则个位数字是x+3，根据题意，
得(x+3)2=10x+x+3.
整理得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.
当x=2时，x+3=5；当x=3时，x+3=6.
∴这个两位数是25或36.两位数，求这个两位数.
选做题
某蔬菜店以每千克2元的价格购进某种绿色蔬菜若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种蔬菜每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出260千克，蔬菜店决定降价销售．若将这种蔬菜每千克售价降低x元．
(1)每天的销售量是 （200x+100） 千克（用含x的代数式表示）；
(2)销售这种蔬菜要想每天盈利300元，每千克的售价需降低多少元？
解：根据题意，得
解得
∵要保证每天至少售出260千克，即，得 ．
∴x=1．
答：每千克的售价降低1元．(共14张PPT)
人教版.九年级上册
21章章末复习小结（1）
基本知识1
学习目标
学习目标：
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
重点：复习一元二次方程概念、解法和应用，建立本章知识结构.
难点：列一元二次方程解决实际问题.
考点1 一元二次方程的概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式： ax2＋bx＋c=0 (a，b，c为常数，a≠0)
二次项系数
一次项系数
常数项
知识梳理
考点精讲
例1 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2-x（x+3）=0 B．ax2+bx+c=0
C．x2-2x-3=0 D．x2-2y-1=0
1.方程3x2-x-2=-x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
4
-2
1
针对训练
C
考点1 一元二次方程的概念
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
考点2一元二次方程的根
知识梳理
例2 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ 25 ．
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】
考点2一元二次方程的根
解：(1) 根据题意得Δ=[-(2m+3)]2 4(m2 + m)=12m+1≥0
解得 m≥
例3关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+m=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设 x1，x2 是方程的两根，且 =3x1x2-14，求m的值.
(2) 根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2 =m2+m，
故m的值是13
∴(2m+1)2 2(m2+m)= 3(m2+m)-14 ，
解得m1=13，m2=-1(不合题意，舍去)
∵ =12，∴(x1+x2)2 2x1x2= 2x1x2-14
考点精讲
考点2一元二次方程的根
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
各种一元二次方程的解法及使用类型
知识梳理
考点3解一元二次方程的方法
例4 用适当的方法解方程：
解：
3x-1=±2
∴x1=1，x2=-
解：x2+2x=48
(x+1)2=49
∴x1= -8，x2=
x+1=±
x2+2x+12=48+12
考点精讲
考点3解一元二次方程的方法
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．
列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
知识梳理
考点4一元二次方程在生活中的应用
几种常见类型
传播问题
握手类型问题
平均变化率问题
销售利润问题
数字问题
几何图形问题
知识梳理
考点4一元二次方程在生活中的应用
例5 某小型快递公司，今年5月份与7月份完成的快递件数分别为5万件和6.05万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同.求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率.
解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率是x，
根据题意得5（1-x)2=6.05
解得 x1=-2.1 (舍去）, x2=0.1=10%.
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率是10%.
考点4一元二次方程在生活中的应用
考点精讲
一元二次方程
一元二次方
程的定义
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式： Δ=b2-4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
几何问题、数字问题
概念：①整式方程； ②一元； ③二次.
营销问题、平均变化率问题
课堂小结
谢谢！
