江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中测试 数学试题（含答案）

1
2024—2025学年度高二上学期数学
期中测试
2024.11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（）
A-2 B. 1 C. 3 D. 4
2. 对于任意的实数，直线恒过定点（）
A. B. C. D.
3. 双曲线的焦点坐标为，则（）
A. B. C. D.
4. 已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5. 点关于直线的对称点的坐标为（）
A. B. C. D.
6. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（）．
A. B.
C. D.
7. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线：，：，则下列结论正确的是（）
A. 在轴上的截距为 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则
10. 已知圆：，点，则下列结论正确的是（）
A. 点圆外
B. 圆上动点到点距离的最大值为
C. 过点作圆的切线，则切线方程为或
D. 过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为
11. 如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（）
A. ， B. 若双曲线的方程是，则
C. 若，则 D. 面积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______.
13. 已知直线与直线平行，则与之间距离为______.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在中，，，.
（1）求中，边上的中线所在直线的方程；
（2）求中，边上的高所在直线的方程.
16. 已知圆的圆心在直线上，且过，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
17. 已知椭圆：（）经过点，焦距为，过点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点.
①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值；
②满足，求直线方程.
19. 如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值；
（3）求证：直线过定点.
2024—2025学年度高二上学期数学
期中测试
2024.11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.
【答案】AD
10.
【答案】AC
11.
【答案】ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
【答案】（1）
（2）
16.
【解析】
【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程；
（2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可.
【小问1详解】
由，，则中点为，，
易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率，
则中垂线方程为，即，
联立，解得，
即圆心，
半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
当直线斜率存在时，设直线，即，
圆心到直线的距离，
则弦长为，
解得，即直线；
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离，弦长为成立；
综上所述，直线的方程为或.
17.
【解析】
【分析】（1）根据焦距和点列式求，即可得椭圆方程；
（2）由题意可知：直线的方程，联立方程求点的坐标，即可得，以及点到直线的距离，即可得面积
【小问1详解】
因为焦距为，即，可得，
又因为点在椭圆：上，即，
联立方程，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线，即，
联立方程，解得或，
不妨设，则，
且点到直线的距离，
所以的面积.
18.
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程；
（2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程.
【小问1详解】
由已知，，动点满足，
则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义，
即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
即轨迹方程为；
【小问2详解】
①设点，，中点，
则，，
又点，在曲线上，
则，作差可得，
即，
则；
②设直线，
联立直线与双曲线，得，
恒成立，
且，，
又，，，
则，
则，，
所以，
解得，，
即直线方程为，
即或.
19.
【解析】
【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程；
（2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明；
（3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点.
【小问1详解】
因为椭圆的上顶点为，离心率为
则解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
圆的圆心为，半径为，
设切线方程为，则，即
因为两切线的斜率分别为，
则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值.
【小问3详解】
联立方程，消掉得，
设，则，
同理可得，
则，
可得直线方程为，
令，得，
所以故直线过定点.
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