第十一章 三角形
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图，三角形的个数为（ ）
第1题图
A.4 B.5 C.6 D.7
2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
第2题图
A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性
3. 关于三角形的三个内角，下列说法错误的是（ ）
A.最多有两个锐角 B.最少有两个锐角
C.必有一个内角不小于60° D.必有一个内角不大于60°
4. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点.
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝（ ）
A.75° B.80° C.85° D.90°
6. 如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处.若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
第6题图
A.80° B.90° C.100° D.110°
7. 如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ ）
第7题图
A.120° B.60° C.140° D.无法确定
8. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
9. 如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A.60° B.55° C.50° D.45°
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝x上.若点A1的坐标为（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn＋1，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A.22n B.22n－1 C.22n－2 D.22n－3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若三角形的三个内角度数比为2∶3∶4，则这个三角形一定是
三角形.
12. 若三角形的三条边长分别为5，1＋2x，8，则x的取值范围是 .
13. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
第13题图
14. 三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍，我们称此三角形为特征三角形，其中α为特征角.若一个特征三角形的特征角为110°，则这个“特征三角形”的最小内角为 .
15. 如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，若∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是
.
第15题图
三、解答题（本大题共7个小题，共75分）
16. （10分）如图，已知△ABC.
（1）画中线AD.
（2）画△ABD的高BE及△ACD的高CF.
17. （10分）壮壮爷爷准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔.已知第一条边长为a m，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2 m.
（1）请用a表示第三条边的长.
（2）第一条边长可以为7 m吗？请说明理由.
18. （10分）如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP.
19. （11分）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝5 cm，AC＝12 cm，BC＝13 cm，∠BAC＝90°.求：
（1）△ABE的面积.
（2）AD的长度.
（3）△ACE与△ABE的周长的差.
20. （11分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F.
（1）求证：∠F＋∠FEC＝2∠A.
（2）过点B作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F＋∠FEC的数量关系，并证明你的结论.
21. （11分）
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图1，已知∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系.
探究二：三角形的一个内角与另外两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图2，已知在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.
22. （12分）如图1所示，已知一个五角星ABCDE.
（1）求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
（2）如图2所示，如果B点向下移动到AC上，求∠A＋∠DBE＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
（3）如果B点继续向下，移到AC的另一侧，如图3所示，（2）中的结果还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它的值.第十一章 三角形
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图，三角形的个数为（ C ）
第1题图
A.4 B.5 C.6 D.7
2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ D ）
第2题图
A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性
3. 关于三角形的三个内角，下列说法错误的是（ A ）
A.最多有两个锐角 B.最少有两个锐角
C.必有一个内角不小于60° D.必有一个内角不大于60°
4. 下列说法中，正确的个数是（ A ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点.
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝（ A ）
A.75° B.80° C.85° D.90°
6. 如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处.若∠1＝20°，则∠2的度数为（ C ）
第6题图
A.80° B.90° C.100° D.110°
7. 如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ C ）
第7题图
A.120° B.60° C.140° D.无法确定
8. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ C ）
A.4 B.5 C.6 D.7
9. 如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ A ）
A.60° B.55° C.50° D.45°
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝x上.若点A1的坐标为（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn＋1，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn可表示为（ D ）
A.22n B.22n－1 C.22n－2 D.22n－3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若三角形的三个内角度数比为2∶3∶4，则这个三角形一定是
锐角 三角形.
12. 若三角形的三条边长分别为5，1＋2x，8，则x的取值范围是 1＜x＜6 .
13. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2.
第13题图
14. 三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍，我们称此三角形为特征三角形，其中α为特征角.若一个特征三角形的特征角为110°，则这个“特征三角形”的最小内角为 15° .
15. 如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，若∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是
α＋β .
第15题图
三、解答题（本大题共7个小题，共75分）
16. （10分）如图，已知△ABC.
（1）画中线AD.
解：（1）中线AD如图所示.
（2）画△ABD的高BE及△ACD的高CF.
解：（2）△ABD的高BE及△ACD的高CF如图所示.
17. （10分）壮壮爷爷准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔.已知第一条边长为a m，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2 m.
（1）请用a表示第三条边的长.
解：（1）第三条边长为30－a－（2a＋2）＝（28－3a）（m）.
（2）第一条边长可以为7 m吗？请说明理由.
解：（2）第一条边长不可以为7m.
理由如下：
当a＝7时，三边长分别为7，16，7.
∵7＋7＜16，
∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m.
18. （10分）如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP.
18.证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°.
∵EP，FP分别是∠BEF，∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝∠BEF，∠EFP＝∠EFD.
∴∠PEF＋∠EFP＝（∠BEF＋∠EFD）＝90°.
∴∠P＝180°－（∠PEF＋∠EFP）＝180°－90°＝90°.
∴EP⊥FP.
19. （11分）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝5 cm，AC＝12 cm，BC＝13 cm，∠BAC＝90°.求：
（1）△ABE的面积.
解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm，
∴S△ABC＝×5×12＝30（cm2）.
∵AE是边BC的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝15（cm2）.
（2）AD的长度.
解：（2）在△ABC中，AD是边BC上的高，
∴S△ABC＝BC·AD.
∵BC＝13cm，S△ABC＝30cm2，
∴AD＝30.
∴AD＝.
即AD的长度为cm.
（3）△ACE与△ABE的周长的差.
解：（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE.
∴C△ACE－C△ABE＝AC＋CE＋AE－（AB＋BE＋AE）＝AC－AB＝12－5＝7（cm）.
即△ACE比△ABE的周长多7cm.
20. （11分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F.
（1）求证：∠F＋∠FEC＝2∠A.
证明：∵∠FEC＝∠A＋∠ADE，
∴∠F＋∠FEC＝∠F＋∠A＋∠ADE.
∵∠ADE＝∠BDF，∠F＋∠BDF＝∠ABC，
∴∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC.
∵∠A＝∠ABC，
∴∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC＝2∠A.
（2）过点B作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F＋∠FEC的数量关系，并证明你的结论.
解：∠MBC＝∠F＋∠FEC.
证明如下：∵BM∥AC，
∴∠MBA＝∠A.
∵∠A＝∠ABC，
∴∠MBC＝∠MBA＋∠ABC＝2∠A.
∵∠F＋∠FEC＝2∠A，
∴∠MBC＝∠F＋∠FEC.
21. （11分）
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图1，已知∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系.
解：探究一：∵∠FDC＝∠A＋∠ACD，∠ECD＝∠A＋∠ADC，
∴∠FDC＋∠ECD＝∠A＋∠ACD＋∠A＋∠ADC
＝180°＋∠A.
探究二：三角形的一个内角与另外两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图2，已知在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.
解：探究二：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD.
∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD
＝180°－∠ADC－∠ACD
＝180°－（∠ADC＋∠ACD）
＝180°－（180°－∠A）
＝90°＋∠A.
∴∠P＝90°＋∠A.
22. （12分）如图1所示，已知一个五角星ABCDE.
（1）求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
解：（1）由图1可知∠BKF是△KCE的外角，
∴∠BKF＝∠C＋∠E.
同理∠BFK＝∠A＋∠D.
∵∠B＋∠BFK＋∠BKF＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
（2）如图2所示，如果B点向下移动到AC上，求∠A＋∠DBE＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
解：（2）如图2，∠A＋∠C＝∠DFH，∠DBE＋∠E＝∠DHF，
∵∠DFH＋∠D＋∠DHF＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠DBE＋∠E＋∠D＝180°.
（3）如果B点继续向下，移到AC的另一侧，如图3所示，（2）中的结果还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它的值.
解：（3）结果还成立，理由：
如图3，∠B＋∠D＝∠EGF，∠A＋∠C＝∠GFE.
由三角形内角和定理可知∠EGF＋∠GFE＋∠E＝180°，
∴∠B＋∠D＋∠A＋∠C＋∠E＝180°.
故结论成立.
