北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳学校高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.双曲线的焦点坐标是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则( )
A. B.
C. D.
4.设双曲线的渐近线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.圆与圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
6.若数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知点是双曲线的一个焦点，直线，则“点到直线的距离大于”是“直线与双曲线没有公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：

当点是中点时，直线平面；
直线到平面的距离是；
存在点，使得；
面积的最小值是．
其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ．
12.若双曲线的焦距是，则实数 ．
13.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则 ；双曲线的渐近线方程是 ．
14.若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
15.已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为 ；实数的最大值为 ．
16.已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论：
曲线关于直线对称：
当时，点不在直线上：
当时，；
当时，曲线所围成的区域的面积大于．
其中所有正确结论的有 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.在直四棱柱中，，，，，
求证：平面；
若直四棱柱体积为，求二面角的余弦值．
18.已知椭圆的离心率为，长轴端点分别为，，
求椭圆的标准方程；
，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且求点的坐标；
为椭圆上任意一点不与、重合，设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为常数，并说明理由．
19.如图，在多面体中，为等边三角形，，点为的中点，再从下面给出的条件条件这两个条件中选择一个作为已知．

求证：平面；
设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
条件：平面平面；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
20.已知椭圆过点，焦距为．
求椭圆的方程，并求其短轴长；
过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点设直线的斜率为，求的最大值．
21.已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集．
若，写出的所有子集；
若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.，
15.答案不唯一

16.
17.由题意知，，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，且平面，平面，
所以平面，
又，、平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
由题意知，底面为直角梯形，
所以梯形的面积，
因为四棱柱的体积为，
所以，
过作于，连接，
因为平面，且平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，，
所以，
故二面角的余弦值为．

18.设椭圆的标准方程为，
因为长轴端点分别为，，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，则，
所以，
则椭圆的标准方程为．
设，
因为，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且，
所以，
由知椭圆为，，
所以，
整理得，与联立，
解得，
所以点的坐标为，或，或，或．
设，又，，
则，，
所以，
又，所以，
则，
即为常数．

19.Ⅰ证明：选择条件：
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为等边三角形，点为的中点，
所以，
又，、平面，
所以平面．
若选择条件：
因为，，
所以，即，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为等边三角形，点为的中点，
所以，
又，、平面，
所以平面．
Ⅱ解：由Ⅰ知，平面，
故以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：由题意知，．
所以，．
所以椭圆的方程为，其短轴长为．
设直线的方程为，，，则．
由，得．，
所以．
由得直线的方程为．
由得．
因为，
所以，．
所以．
因为为的中点，且，
所以．
所以直线的斜率
．
当时，．
当时，
因为，当且仅当时，等号成立．
所以．
所以当时，取得最大值．

21.解：当时，，
则当时，，时，，满足条件，即，
故A的所有子集有，；
当时，取，，是的子集，此时，
若，设，，，且，
根据题意，，，，
，，，，
，，
，
，
，
，与矛盾，
综上，．
设，，，，，
，，，，，，，，，
设的元素个数为，
若不是的的子集，
则最多能包含，，，，中的一外元素以及，，，中的元素，
令，验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的的子集，
的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则，
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
是的子集，的最小值为．
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