2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二上学期统练一数学试题（含答案）

2024-2025学年中国人民大学附属中学高二上学期统练一
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为( )
A. B. C. D.
2.下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是( )
A. B.
C. D.
3.“直线与平面平行”是“直线与平面内无数条直线都平行”的 条件
A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要
4.如图，为圆的直径，点在圆上，平面，则图中直角三角形的个数是( )
A. B. C. D.
5.若正四棱台的上底边长为，下底边长为，高为，则它的表面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是( )
A. B. C. D.
8.一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图，水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图，则容器中水面的高度是 ．
A. B. C. D.
9.已知直六棱柱的所有棱长均为，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．
A. B. C. D.
10.如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.如图，长方体中，过的中点作一个与平面平行的平面交于，交于，则与的数量关系是 ．
12.在棱长为的正方体中，是直线上的两个动点如果，那么三棱锥的体积等于 ．
13.如图，线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为 ．
14.如图所示，已知矩形中，，，平面，在线段上，在满足条件的点有两个时，的取值范围是 ；点有一个时的值为 ．
15.如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且，底面，，，，分别是棱，，的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
截面的面积等于；
截面是一个五边形；
截面与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
截面在底面的投影面积为．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图所示，已知点是所在平面外一点，，，分别，，的中点，平面平面．
求证：平面；
直线上是否存在点，使得平面平面，并加以证明；
求证：．
17.已知正方体．
证明：平面；
求异面直线与所成的角．
18.如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，为的中点．
求证：；
设点为底面内包括边界的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积．
参考答案
1.
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14.

15.
16.取中点为，连接
在中，
在中，
所以，即四边形为平行四边形
所以，平面，平面
所以平面
当为中点时，平面平面
证明如下：
取的中点为，连接
在中，，平面，平面
所以平面，同理可证，平面
又平面，
所以平面平面
，平面，平面，平面
又平面平面，平面，

17.证明：连接，交于点，在正方体中，底面是正方形，
，又，平面，，
平面，又平面，
；同理可证，
又平面，，
平面．
解：，即为异面直线与所成的角，
设正方体的边长为，则易得，
为等边三角形，，
故异面直线与所成的角为．

18.
在三棱柱中，连接，，，，
由，为的中点，得，
又平面，且平面，则，，
由，平面，得平面，
在中，，分别为，的中点，则，，
而，，则，，
即四边形为平行四边形，则，
所以平面，因为平面，所以；
连接，，
由知，，且平面，平面，
则平面，
在平行四边形中，，分别为，的中点，
则，，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面，
因为，平面，所以平面平面，
又平面平面，则点的轨迹为线段，即，
由，，为的中点，
得，，，
由知，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，即，
所以四边形为矩形，则，
在中，，则边上的高，
可得，
所以三棱柱的侧面积．

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