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《三元一次方程组的应用》同步提升训练题
一．选择题（共15小题）
1．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）
A．25 B．24 C．33 D．34
2．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
3．甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
4．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（ ）
A．1元 B．2元 C．3元 D．7元
5．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
6．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
7．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元．
A．33 B．34 C．35 D．36
8．甲、乙、丙三人到超市购零食．甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元．那么丙买薯片4包，花费（ ）
A．5元 B．10元 C．20元 D．不确定
9．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
10．小华到学校超市买铅笔11支，作业本5个，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需（ ）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．无法求出
11．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元；黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
12．某学校体育社团准备采购一批体育用品奖给学生，到了文具店发现广告上写着优惠活动如下：3根跳绳，5个乒乓球和一个羽毛球共16元；2根跳绳，3个乒乓球和一个羽毛球共12元；王老师马上想到：5根跳绳，9个乒乓球和一个羽毛球共需（ ）元．
A．28 B．24 C．20 D．18
13．某商店对自己销售的三个品牌的奶粉进行了跟踪调查，两周内三个品牌奶粉a，b，c的销售量的比为4：3：1，现在该商店购进一批奶粉，共计2400箱，采购员是根据商店的销售情况购进的，则b品牌奶粉约购进了（ ）
A．900箱 B．1600箱 C．300箱 D．2100箱
14．某商场推出A、B、C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元．那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，共需付款（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
15．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（ ）元
A．31 B．32 C．33 D．34
二．填空题（共13小题）
16．如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a﹣bc的值为 ．
17．买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 元．
18．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 次．
19．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元．
20．母亲节到了，小红、小丽和小华到花店买花送给自己的母亲．小红买了3支玫瑰，5支康乃馨，1支百合花，付了18元；小丽买了4支玫瑰，7支康乃馨，1支百合花，付了20元；小华想买上面三种花各2支，则她应付 元．
21．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文3a+b，2b+c，2c+d，2d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，10，8．当接收方收到密文13，9，24，20时，则解密得到的明文四个数字之和为 ．
22．“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需 元．
23．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元．
24．蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的50道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多10道，则三人一共做出了 道题．
25．实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 个．
26．甲、乙、丙三人到超市购零食．甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元．那么丙买薯片4包，花费 元．
27．有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出．为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作．但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了8小时．工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时．这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 台抽水机．
28．购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 元．
三．解答题（共17小题）
29．【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求2x+y+z的值．
解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③
③得：2x+y+z＝3，
所以2x+y+z的值为3．
【类比迁移】
（1）已知，求3x+4y+5z的值；
【实际应用】
（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
30．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
31．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
32．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
33．一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，求原三位数．
34．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．
35．某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？
36．一个三位数三位上的数字和是11，如果把百位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大693，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大54，求这个三位数．
37．数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ ；∴x+y+z＝4．
小渝的方法：①+②： ；∴x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
38．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？
39．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．
当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，
即，解得．
∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
40．问题提出
已知实数x，y满足，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，则2x+y的值为 ．
问题探究
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
问题解决
（3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？
41．果园里共种有苹果、梨、桃三种果树100棵，苹果树棵数、梨树棵数、桃树棵数的比为7：8：10．丰收后苹果的总产量和梨的总产量的比是7：6，已知平均每棵桃树的产量是150斤，比平均每棵苹果树的产量少．
（1）求果园里苹果树与梨树各有多少棵；
（2）求丰收后果园里苹果总产量和梨的总产量分别是多少斤；
（3）果园要将丰收后的三种水果全部售出，苹果定价每斤6元，梨定价每斤3元，桃定价每斤5元，预计在出售过程中，平均每种水果会有腐烂掉，果园出售完这三种水果的总售价是多少元？
42．数学活动：探究不定方程
小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ ，∴x+y+z＝4．
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小仑的方法：①+②： ③；∴ 得：x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
43．2022年北京冬奥会取得了圆满成功，巧妙蕴含中华文化的冬奥场馆，是北京冬奥会上一道特有的风景．某校40名同学要去参观A、B、C三个冬奥场馆，每一位同学只能选择一个场馆参观．已知购买2张A场馆门票加1张B场馆的门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180元．
（1）求A场馆和B场馆门票的单价；
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，此次购买门票所需总金额为1140元，则购买A场馆门票 张；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1035元，求所有满足条件的购买方案．
44．在解决“已知实数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④，
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤，
当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，即：，解得：．
∴4x+13y﹣9z＝5a+b＝13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）若实数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，则a＝ ，b＝ ；
（3）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元；则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
45．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
（1）求A场馆和B场馆的门票价格．
（2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
（3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案．中小学教育资源及组卷应用平台
《三元一次方程组的应用》同步提升训练题
一．选择题（共15小题）
1．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）
A．25 B．24 C．33 D．34
【思路点拔】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c＝16；据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，则d＝8，又a+d＝8+1+a＝10，则a＝1；综上可知，a﹣1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9．
【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba＝10769；
则b+c＝16；又据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，
则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，
可得：d＝8，
又∵a+d＝8+1+a＝10，
∴a＝1，
综上可知，a＝1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选：A．
2．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
【思路点拔】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．”可得出关于x，y，z的三元一次方程组，①×2﹣②得，6y＝180，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【解答】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据题意得，
，
①×2﹣②得，6y＝180，
解得：y＝30，
故选：B．
3．甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
【思路点拔】设甲艺术中心采购签字笔数量为x，笔记本数量为y，钢笔数量为z．根据题意，通过“采购费用＝采购数量×文具单价”分别求出三家艺术中心的采购费用，再根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，最后结合文具数量为正整数，求出甲艺术中心的三种文具的数量，进而得出答案．
【解答】解：设甲艺术中心采购签字笔数量为x，笔记本数量为y，钢笔数量为z．则三甲艺术中心的采购费用分别如下：
甲：8x+10y+25z；
乙：8×6x+12×10y+8×25z＝48x+120y+200z；
丙：3×8x+9×10y+25z＝24x+90y+25z．
三家艺术中心采购费用的总和为：80x+220y+250z．
根据题意建立三元一次方程组，得
化简，得
①﹣②×8，得25z﹣18y＝53，
整理，得
z．
∵x，y，z均为正整数，
∴对于②式，y只可能为1、2、3、4、5．
只有y＝4时，z为正整数，故z5．
∴x＝29﹣5y＝29﹣5×4＝9．
所以甲艺术中心的采购总费用为：8x+10y+25z＝8×9+10×4+25×5＝237元．
故选：A．
4．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（ ）
A．1元 B．2元 C．3元 D．7元
【思路点拔】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据题意列出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可求解．
【解答】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，
根据题意得：，
（①﹣②）÷3得：
[2x+5y﹣3﹣（5x+2y+3）]÷3＝（z﹣z）÷3，
（3y﹣3x﹣6）÷3＝0，
y﹣x﹣2＝0，
y﹣x＝2，
∴每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵2元，
故选：B．
5．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【思路点拔】根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案．
【解答】解：根据题意得：，
∴（e+10）﹣（c+e）＝（b+c）﹣（b﹣2），
∴c＝4；
故选：D．
6．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【思路点拔】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
7．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元．
A．33 B．34 C．35 D．36
【思路点拔】设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值．
【解答】解：设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．
列方程组得：，
①×3﹣②×2得：x+y+z＝34．
故选：B．
8．甲、乙、丙三人到超市购零食．甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元．那么丙买薯片4包，花费（ ）
A．5元 B．10元 C．20元 D．不确定
【思路点拔】由题意，设薯片1包x元，饼干1袋y元，糖果1盒z元．可得方程组，求解即可．
【解答】解：由题意，设薯片1包x元，饼干1袋y元，糖果1盒z元．
则可得方程组，
∴①×2﹣②得，5x＝25，
解得x＝5，
∴4x＝20，
∴丙买薯片4包，花费20元．
故选：C．
9．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【思路点拔】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z＝7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
，
解得：y+2z＝7，
y＝7﹣2z，
∵x，y，z都是小于9的正整数，
当z＝1时，y＝5，x＝3；
当z＝2时，y＝3，x＝4；
当z＝3时，y＝1，x＝5
当z＝4时，y＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
10．小华到学校超市买铅笔11支，作业本5个，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需（ ）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．无法求出
【思路点拔】等量关系为：11×铅笔的单价+5×作业本的单价+2×笔芯的单价＝12.5；10×铅笔的单价+4×作业本的单价+1×笔芯的单价＝10，把两个方程相减后即可得到的方程可得购买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需的钱数．
【解答】解：设购一支铅笔，一个作业本，一支笔芯分别需要x，y，z元，
根据题意得，
①﹣②得x+y+z＝12.5﹣10＝2.5．
故买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需2.5元．
故选：B．
11．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元；黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
【思路点拔】依据题意，设商品A的单价为x元/件，商品B的单价为y元/件，商品C的单价为z元/件．根据购买A商品3件、B商品7件、C商品1件共需24元；若购买A商品4件、B商品10件、C商品1件共需33元可得两个方程，相减后消去z，由第一个方程可得z的值，进而求x+y+z的值即可．
【解答】解：由题意，设商品A的单价为x元/件，商品B的单价为y元/件，商品C的单价为z元/件，则
，．
∴②﹣①得：x+3y＝9．
由①，得：z＝24﹣3x﹣7y．
∴x+y+z＝x+y+24﹣3x﹣7y＝24﹣2x﹣6y＝24﹣2（x+3y）＝24﹣2×9＝6．
答：买A、B、C各一件共需要6元．
故选：D．
12．某学校体育社团准备采购一批体育用品奖给学生，到了文具店发现广告上写着优惠活动如下：3根跳绳，5个乒乓球和一个羽毛球共16元；2根跳绳，3个乒乓球和一个羽毛球共12元；王老师马上想到：5根跳绳，9个乒乓球和一个羽毛球共需（ ）元．
A．28 B．24 C．20 D．18
【思路点拔】设x根跳绳，y个乒乓球，z个羽毛球，根据已知条件列出方程组，利用加减法分别求出x+2y＝4，x+y+z＝8，再将5x+9y+z拆分成（x+y+z）+4（x+2y），代入计算即可．
【解答】解：设每根跳绳x元，每个乒乓球y元，每个羽毛球z元，
由题意可得：，
①﹣②得：x+2y＝4，
∴4x+8y＝16，
②×2﹣①得：x+y+z＝8，
∴5x+9y+z＝（x+y+z）+4（x+2y）＝8+4×4＝24，
故选：B．
13．某商店对自己销售的三个品牌的奶粉进行了跟踪调查，两周内三个品牌奶粉a，b，c的销售量的比为4：3：1，现在该商店购进一批奶粉，共计2400箱，采购员是根据商店的销售情况购进的，则b品牌奶粉约购进了（ ）
A．900箱 B．1600箱 C．300箱 D．2100箱
【思路点拔】用总箱数乘以b品牌奶粉所占比例即可．
【解答】解：（箱），
故选：A．
14．某商场推出A、B、C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元．那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，共需付款（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
【思路点拔】设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，由“若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷5可求出（x+y+z）的值，此题得解．
【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
依题意，得：，
（①+②）÷5，得：x+y+z＝12．
故选：B．
15．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（ ）元
A．31 B．32 C．33 D．34
【思路点拔】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元；购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件所需的费用．
【解答】解：设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，
根据题意得：，
①×3﹣②×2得：x+y+z＝32，
∴购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需32元．
故选：B．
二．填空题（共13小题）
16．如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a﹣bc的值为 ﹣13 ．
【思路点拔】根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，列出三元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：由题意可知，，
解得：，
∴a﹣bc＝﹣5﹣（﹣2）×（﹣4）＝﹣5﹣8＝﹣13，
故答案为：﹣13．
17．买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 40 元．
【思路点拔】设练习本一本x元，笔 一支y元，橡皮一块z元，先根据题意列出三元一次方程组，利用等式的性质得x+y+z的值，最后求出5x+5y+5z的值．
【解答】解：设练习本一本x元，笔 一支y元，橡皮一块z元，
由题意，得，
②﹣①，得2x+2y+2z＝16．
∴x+y+z＝8．
∴5x+5y+5z
＝5（x+y+z）
＝5×8
＝40（元）．
故答案为：40．
18．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 8 次．
【思路点拔】根据题意可知，设在甲机换了x次，乙机换了y次，丙机换了z次，在甲机上每换一次多1个，在乙机上每换一次多3个，在丙机上每换一次多9个，进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可．
【解答】解：设在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次，
在甲机上每换一次多 1 个；
在乙机上每换一次多 3 个；
在丙机上每换一次多 9 个；
进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；
∴
由②﹣①，得：2y+8z＝68，
∴y+4z＝34，
∴y＝34﹣4z，
结合x+y+z＝12，能满足上面两式的值为：
∴x＝2，y＝2，z＝8；
即在丙机换了8次．
故答案为：8．
19．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 6 元．
【思路点拔】设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出x+y+z的值即可．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，
根据题意，得，
①×3﹣②×2得3（3x+7y+z）﹣2（4x+10y+z）＝20×3﹣27×2，
整理，得x+y+z＝6．
故答案为：6．
20．母亲节到了，小红、小丽和小华到花店买花送给自己的母亲．小红买了3支玫瑰，5支康乃馨，1支百合花，付了18元；小丽买了4支玫瑰，7支康乃馨，1支百合花，付了20元；小华想买上面三种花各2支，则她应付 28 元．
【思路点拔】如果设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x元，y元，z元，题中有两个等量关系：3枝玫瑰的价格+5枝康乃馨的价格+1枝百合花的价格＝18元；4枝玫瑰的价格+7枝康乃馨的价格+1枝百合花的价格＝20元，据此列出两个方程，得到三元一次方程组．在这个方程组中，把y看作常数，用含y的代数式分别表示x和z，再代入2（x+y+z），即可求出结果．
【解答】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x元，y元，z元，
根据已知条件，列出方程组，
②﹣①，得x＝2﹣2y．③
将③代入①，得z＝12+y．④
∴x+y+z＝2﹣2y+y+12+y＝14，
∴2（x+y+z）＝28．
所以，她应付28元．
故答案为：28．
21．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文3a+b，2b+c，2c+d，2d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，10，8．当接收方收到密文13，9，24，20时，则解密得到的明文四个数字之和为 22 ．
【思路点拔】根据接收方收到密文13，9，24，20，列出三元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴a+b+c+d＝4+1+7+10＝22，
即解密得到的明文四个数字之和为22，
故答案为：22．
22．“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需 3 元．
【思路点拔】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据“购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元”建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，
根据题意得：，
②+①得：5x+5y+5z＝15③，
∴x+y+z＝3，
∴购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需3元，
故答案为：3．
23．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 600 元．
【思路点拔】根据题意列三元一次方程组，计算出甲、乙、丙各1件时的价格，再乘以3即可．
【解答】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元，
由题意知：，
①+②得5（x+y+z）＝1000，
因此x+y+z＝200，
∴3（x+y+z）＝600（元），
即购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元．
故答案为：600．
24．蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的50道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多10道，则三人一共做出了 80 道题．
【思路点拔】设三人做出的题目中难题有x道，中档题有y道，容易题有z道，根据“每人都解出了其中的50道题，且难题比容易题多10道”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，利用（①﹣②）÷2，可求出y+2z的值，再将其代入50×3﹣y﹣2z＝50×3﹣（y+2z）中，即可求出结论．
【解答】解：设三人做出的题目中难题有x道，中档题有y道，容易题有z道，
根据题意得：，
（①﹣②）÷2得：y+2z＝70，
∴50×3﹣y﹣2z＝50×3﹣（y+2z）＝50×3﹣70＝80，
∴三人一共做出了80道题．
故答案为：80．
25．实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 59 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 10 个．
【思路点拔】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可．
【解答】解：（1）购买费用为：1×5+6×6+2×9＝59（元），
故答案为：59；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，
根据题意得：2x+3y+4z＝28，
①当0＜x＜3时，5x+6y+9z＝58，
∵x，y，z都为正整数，
∴方程组无解；
②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4＝58，
∵x，y，z都为正整数，
∴x＝4时，y＝4，z＝2，
综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别4，4，2，
∴4+4+2＝10，
故答案为：10．
26．甲、乙、丙三人到超市购零食．甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元．那么丙买薯片4包，花费 20 元．
【思路点拔】依据题意，设薯片1包x元、饼干1袋y元、糖果1盒z元，从而可得，求出4x即可得解．
【解答】解：由题意，设薯片1包x元、饼干1袋y元、糖果1盒z元，
则可得方程组，
∴①×2﹣②得，5x＝25．
∴x＝5．
∴4x＝20．
∴丙买薯片4包，花费20元．
故答案为：20．
27．有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出．为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作．但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了8小时．工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时．这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 6 台抽水机．
【思路点拔】设泉水每小时涌出的水量为a，每台抽水机每小时的抽水量为b，调来8台抽水机同时工作需用c小时可将水池的水抽干，根据池底原有的水量不变，可列出关于a，b，c的方程组，解之可得出a＝6b，进而可得出结论．
【解答】解：设泉水每小时涌出的水量为a，每台抽水机每小时的抽水量为b，调来8台抽水机同时工作需用c小时可将水池的水抽干，
根据题意得：，
即，
∴72b﹣8a＝60b﹣6a，
∴a＝6b，
∴泉水每小时涌出的水量等于6台抽水机每小时的抽水量，
∴为了保持池中始终没有水，还应该至少留下6台抽水机．
故答案为：6．
28．购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 7 元．
【思路点拔】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．
【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．
则由题意得：
，
由①﹣②得2x+y+z＝7，
于是：a＝7，
故答案为：7．
三．解答题（共17小题）
29．【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求2x+y+z的值．
解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③
③得：2x+y+z＝3，
所以2x+y+z的值为3．
【类比迁移】
（1）已知，求3x+4y+5z的值；
【实际应用】
（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
【思路点拔】（1）由整体思想求值即可；
（2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元，根据若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；列出三元一次方程组，由整体思想求出a+b+c＝10，即可解决问题．
【解答】解：（1），
①+②得：6x+8y+10z＝36③，
③得：3x+4y+5z＝18，
∴3x+4y+5z的值为18；
（2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元，
由题意得：，
②﹣①×2得：a+b+c＝10③，
③×45得：45a+45b+45c＝450，
答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱．
30．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
【思路点拔】首先设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）根据 原草量+每天生长的草量×放牧的天数＝每头牛每天吃草量×头数×天数
列出方程组，可解得x的值即为所求．
（2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛．
要使牧草才永远吃不完，则有 每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量，解得结果即为所求．
【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）由题意得：
由②﹣①得 b＝12c ④
由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c ⑤
将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18
（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y12．
答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．
31．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【思路点拔】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组
通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
【解答】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．
由题意列方程组
②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7，
由①得x﹣z＝1⑤，
将y＝7代入③得 x+z＝7⑥，
⑤+⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3，
答：这个三位数是473．
32．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
【思路点拔】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．
（2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，
①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得
，
解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．
（2）根据题意得：
，
解得：或．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台．
33．一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，求原三位数．
【思路点拔】设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数为：100z+10y+x，新数表示为：100y+10z+x，根据题意列三元一次方程组求解即可．
【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，由题意得：
解得
∴原三位数为：635．
34．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．
【思路点拔】设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z，因为个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍可列x+z＝2y，因为百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和可列3z＝x+y，因为个位、十位、百位上的数字的和是12可列x+y+z＝12，再用消元法求出x，y，z即可．
【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z．
由题意可列：，
将②代入③得：4z＝12，
∴z＝3，
将z代入①，②得：，
⑤﹣④，得：3y＝12，
解得：y＝4，
将y＝4代入⑤，得：x＝5，
∴方程组的解为，
答：这个数是543．
35．某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？
【思路点拔】假设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时．那么这个两位数数值就是10y+x，1小时后站牌数值是10x+y，又经过1小时，他看到第三块里程牌上数值是100y+x；因而列方程（10x+y）﹣（10y+x）＝z与（100y+x）﹣（10x+y）＝z，求得x与y的比例关系．通过数字x、y满足0≤x≤9，1≤y≤9，确定出x、y的取值，代入求得z的值．
【解答】解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时．
由题意得
由①÷②得，即x＝6y
又∵0≤x≤9，1≤y≤9
∴x只能取6，y＝1
∴z＝9（6﹣1）＝45
答：汽车的速度是45千米/小时．
36．一个三位数三位上的数字和是11，如果把百位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大693，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大54，求这个三位数．
【思路点拔】设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，由数位问题一个数等于百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字×1表示数位方法表示出各个数建立方程及其他相关的条件建立方程得到三元一次方程组求出其解就可以了．
【解答】解：设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，根据题意，得
，
整理，得
，
解得：，
故原来的三位数是128．
答：原来的三位数是128．
37．数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ 3﹣2z ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ z+1 ；∴x+y+z＝4．
小渝的方法：①+②： 5x+5y+5z＝20 ；∴x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
【思路点拔】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解；
（2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解；
（3）依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而
，变形可得2x+3y+z＝3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解．
【解答】解：（1）由题意，小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1，
∴x+y+z＝4．
小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③；
∴③÷5得：x+y+z＝4．
故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；
（2）由题意得：
，
∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x；
①+②×2，整理得，y＝x﹣3，
∴x+y+z＝3；
（3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，可得方程组：
，
∴②﹣①×2得：4y＝1.6，
∴y＝0.4．
又①×4﹣②，整理得：2x+z＝2，
∴2x+3y+z＝3.2．
∴200x+300y+100z＝320．
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元．
38．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？
【思路点拔】设他在甲换币机上换了x次，乙换币机上换了y次，丙换币机上换了z次，根据甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．列出三元一次方程组，求出正整数解即可．
【解答】解：设他在甲换币机上换了x次，乙换币机上换了y次，丙换币机上换了z次，
由题意得：，
整理得：y+4z＝34，
又∵x+y+z＝12，且x、y、z均为正整数，
∴，
答：他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次．
39．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．
当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，
即，解得．
∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【思路点拔】（1）把左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，得出a和b的方程组求解；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，然后按照小华的解法解答即可．
【解答】解：（1）∵（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，
∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，
∴（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，
∴，解得；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求x+3y+2z的值．
设①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，
②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，
③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b⑤，
当（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z时，
即，
解得，
∴x+3y+2z＝18a+28b＝12，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
40．问题提出
已知实数x，y满足，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，则2x+y的值为 2 ．
问题探究
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
问题解决
（3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？
【思路点拔】（1）依据题意，由可得①﹣②得，2x+y＝2，进而判断得解；
（2）依据题意，由，可得①+②得，3x＝3a+1，进而x，再把x代入②得，2y＝2﹣a，故可得y，再计算x+y可以判断得解；
（3）依据题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元，则，可得①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420，故2x+2y+2z＝150，进而可以得解．
【解答】解：（1），
∴①﹣②得，2x+y＝2．
故答案为：2．
（2），
∴①+②得，3x＝3a+1，
∴x．
把x代入②得，
2y＝2﹣a，
∴y．
∴x+y．
∴无论a取何值，x+y的值始终不变．
（3）由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元，
则，
∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420，
∴2x+2y+2z＝150．
答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元．
41．果园里共种有苹果、梨、桃三种果树100棵，苹果树棵数、梨树棵数、桃树棵数的比为7：8：10．丰收后苹果的总产量和梨的总产量的比是7：6，已知平均每棵桃树的产量是150斤，比平均每棵苹果树的产量少．
（1）求果园里苹果树与梨树各有多少棵；
（2）求丰收后果园里苹果总产量和梨的总产量分别是多少斤；
（3）果园要将丰收后的三种水果全部售出，苹果定价每斤6元，梨定价每斤3元，桃定价每斤5元，预计在出售过程中，平均每种水果会有腐烂掉，果园出售完这三种水果的总售价是多少元？
【思路点拔】（1）设果园里苹果树有x棵，梨树有y棵，桃树有z棵，列出方程计算即可；
（2）根据已知平均每棵桃树的产量是150斤，比平均每棵苹果树的产量少，求出苹果每棵的产量，再乘以总棵数，即可求得苹果总产量；根据丰收后苹果的总产量和梨的总产量的比是7：6，求得梨的总产量；
（3）根据总价＝单价×数量结合平均每种水果会有腐烂掉，即可求出结论．
【解答】解：（1）设果园里苹果树有x棵，梨树有y棵，桃树有z棵，
依题意，，
解得：．
答：果园里苹果树有28棵，梨树有32棵．
（2） （斤），
175×28＝4900（斤），
49004200 （斤），
答：苹果的总产量和梨的总产量分别有4900斤和4200斤；
（3）49004287.5（元），
4287.5×6＝25725（元），
42003675（斤），
3675×3＝11025（元），
150×405250（斤），
5250×5＝26250（元），
25725+11025+26250＝63000（元），
答：三种水果的总售价为63000元．
42．数学活动：探究不定方程
小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ 3﹣2z ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ z+1 ，∴x+y+z＝4．
第5页（共6页）
小仑的方法：①+②： 5x+5y+5z＝20 ③；∴ ③÷5 得：x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
【思路点拔】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解；
（2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解；
（3）依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而，变形可得2x+3y+z＝3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解．
【解答】解：（1）由题意，小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1，
∴x+y+z＝4．
小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③；
∴③÷5得：x+y+z＝4．
故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5．
（2）由题意，，
∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x；
①+②×2，整理得，y＝x﹣3，
∴x+y+z＝3．
（3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，
可得方程组，
∴②﹣①得，3y＝1.2，
∴y＝0.4．
又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2．
∴2x+3y+z＝3.2．
∴200x+300y+100z＝320．
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元．
43．2022年北京冬奥会取得了圆满成功，巧妙蕴含中华文化的冬奥场馆，是北京冬奥会上一道特有的风景．某校40名同学要去参观A、B、C三个冬奥场馆，每一位同学只能选择一个场馆参观．已知购买2张A场馆门票加1张B场馆的门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180元．
（1）求A场馆和B场馆门票的单价；
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，此次购买门票所需总金额为1140元，则购买A场馆门票 3 张；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1035元，求所有满足条件的购买方案．
【思路点拔】（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，根据“购买2张A场馆门票和1张B场馆门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，根据此次购买门票所需总金额为1140元，列方程即可；
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），利用购买门票所需总金额＝门票单价×购买数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，再结合到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A场馆门票的单价为40元，B场馆门票的单价为30元．
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，
40a+30（40﹣2a）＝1140，
解得a＝3，
故答案为：3．
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），
依题意得：40m+30（40﹣2m﹣n）+15n＝1035，
∴n＝11m．
又∵m，n均为正整数，
∴或．
当m＝3，n＝7时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×3﹣7＝27，
当m＝6，n＝3时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×6﹣3＝25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买3张A场馆门票，27张B场馆门票，7张C场馆门票；
方案2：购买6张A场馆门票，25张B场馆门票，3张C场馆门票．
44．在解决“已知实数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④，
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤，
当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，即：，解得：．
∴4x+13y﹣9z＝5a+b＝13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ﹣8 ，x+y＝ 4 ；
（2）若实数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，则a＝ 5 ，b＝ ﹣3 ；
（3）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元；则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【思路点拔】（1）由①﹣②得：x﹣y＝﹣8，由①+②得：5x+5y＝20，进而得出x+y＝4，即可得出答案；
（2）由（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，得出3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，进而得出（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，可得，解方程组，即可得出答案；
（3）设1枝红花x元，1枝黄花y元，1枝粉花z元，由题意得：，①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b，由（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z，得出方程组，解方程组得出a、b的值，代入18a+28b计算即可得出答案．
【解答】解：（1），
①﹣②得：x﹣y＝﹣8，
①+②得：5x+5y＝20，
∴x+y＝4，
故答案为：﹣8，4；
（2）∵（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，
∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，
∴（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，
∴，
解得：，
故答案为：5，﹣3；
（3）设1枝红花x元，1枝黄花y元，1枝粉花z元，
由题意得：，
①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，
②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，
③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b，
当（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z时，
，
解得：，
∴x+3y+2z
＝18a+28b
＝18×（﹣4）+28×3
＝﹣72+84
＝12，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
45．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
（1）求A场馆和B场馆的门票价格．
（2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
（3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案．
【思路点拔】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论．
（2）购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，依题意得：α＜40﹣2a求出a的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为w元，则有w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，最后根据函数系数a的性质确定最值问题．
（3）设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），根据文中数量关系列出50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1100，则n＝20，根据m、n为正整数这一条件判断m、n的值即可得出结论，最后要记得检验是否符合题意．
【解答】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，
，
解得．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．
（2）设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，
依题意得：α＜40﹣2a，解得：a．
设此次购买门票所需总金额为w元，则
w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，
∵﹣30＜0，
∴w随a的增大而减小．
∵a，且a为整数，
∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
（3）设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），
依题意得：
50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1100，
∴n＝20．
又∵m，n均为正整数，
∴或或．
当m＝5，n＝14时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×5﹣14＝16＞5，符合题意．
当m＝10，n＝8时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×10﹣8＝12＞10，符合题意．
当m＝15，n＝2时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×15﹣2＝8＜15，符合题意，舍去；
∴共有2种购买方案，
方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；
方案2：购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．
又∵在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，
∴选择方案2，
即购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．
