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2.2.6二次函数的最值 同步练习
一．选择题（共7小题）
1．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
【思路点拔】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
对称轴是：x＝﹣1
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，
故选：B．
2．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1或5 C．5 D．﹣5
【思路点拔】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1＝5，
解得：h＝5或h＝1（舍）．
③当1＜h＜3时，则x＝h时，y取得最小值5，可得：1＝5（不成立）；
综上，h的值为﹣1或5，
故选：B．
3．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0
所以y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况，
（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n＝2.5，结合图象最小值只能由x＝m时求出．
（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x＝n求出，最小值只能由x＝m求出．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2或m＝2（舍去）．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n，
∴m，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2．
故选：D．
4．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A． B．或
C．2或 D．2或或
【思路点拔】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m，m（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】依据题意，先根据题意列出函数关系式，再求其最值．
【解答】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y，
则AP＝x，CQ＝2x，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴CA3cm．
∴CP＝3﹣x，
∴y3×42x（3﹣x）＝（x）2．
∴当x时，y有最小值，
故选：C．
6．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点．连接DF，则下列结论 ①∠FDP＝30°；②∠AC′C＝∠DAC′+∠DCC′；③；④△ACC′的面积最大值；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【思路点拔】由对称得：CD＝C′D，∠CDE＝∠C'DE，由等边对等角得出∠DCC′＝∠DC′C，由正方形的性质结合等边对等角得出∠AC′D＝∠DAC′即可判断②；求出即可判断①；作AP'⊥AP交PD的延长线于P′，证明△BAP≌△DAP′（SAS）得出BP＝DP'，结合等腰直角三角形的性质即可判断③；过C′作C'G⊥AC于G，则，由勾股定理得出AC为定值，当C′G最大时，△AC′C的面积最大，连接BD交AC于O，当C′在BD上时，C′G最大，此时G于O重合，求出C′G的最大值，即可得出面积的最大值，从而判断④，
【解答】解：由对称得：CD＝C′D，∠CDE＝∠C'DE，
∴∠DCC′＝∠DC′C，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AD＝C'D，
∴∠AC′D＝∠DAC′，
∴∠AC′C＝∠AC′D+∠DC′C＝∠DAC′+∠DCC′，故②正确；
∵F是AC′的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴，故①错误；
如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P′，
，
∴∠PAP'＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝BA，∠BAD＝90°＝∠PAP′，
∴∠DAP'＝∠BAP，
∵∠FDP＝45°，
∴∠APD＝45°，
∴∠P'＝45°，
∴AP＝AP'，
∴△BAP≌△DAP′（SAS），
∴BP＝DP'，
∴DP+BP＝DP+DP′＝PP′，
∵，
∴，故③正确；
过C′作C'G⊥AC于G，则，
，
由勾股定理得：，即AC为定值，
当C′G最大时，△AC′C的面积最大，
连接BD交AC于O，当C′在BD上时，C′G最大，此时G于O重合，
∵CD＝C′D＝10，，
∴，
∴，即△AC′G的面积的最大值为，故④正确；
综上所述，正确的有：②③④，
故选：B．
7．菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．
【解答】解：连接BD，AC，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝4，DF+CF＝4，
∴AE＝DF，∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE，
∴BE＝BF，
∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝2
△BEF面积的最小值＝3．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
8．如果抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 a＞3 ．
【思路点拔】由于抛物线y＝（a+3）x2有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，
∴a﹣3＞0，
即a＞3．
故答案为a＞3．
9．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长9m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形劳动实践基地（如图所示）．要使围成的两块矩形总种植面积最大，则BC应设计为 4 m．
【思路点拔】设围成两块矩形的面积之和为y m2，BC边的长为x m，则CD边的长为（21﹣3x）m，利用矩形的面积公式，可得出y关于x的函数关系式，结合CD的长非负及墙长9m，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：设围成两块矩形的面积之和为y m2，BC边的长为x m，则CD边的长为（21﹣3x）m，
根据题意得：y＝x（21﹣3x），
∴y＝﹣3（x）2．
∵，
∴4≤x＜7．
∵a＝﹣3＜0，4，
∴当x＝4时，y取得最大值，最大值＝﹣3×（4）236，
∴要使围成的两块矩形总种植最大，则BC应设计为4m．
故答案为：4．
10．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝ 1 ．
【思路点拔】将函数配方得，y＝（x﹣2）2+a﹣4，所以当x＝2时，函数有最小值a﹣4，由二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，得a﹣4＝﹣3，所以a＝1．
【解答】解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，
当x＝2时，函数有最小值a﹣4，
∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，
∴a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
故答案为1．
11．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值是 2或 ．
【思路点拔】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得，m，
∵2，
∴不符合题意，
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
所以，m，
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得，m＝2，
综上所述，m＝2或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或．
12．已知m、n、k为非负实数，且m﹣k+1＝2k+n＝1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为 ．
【思路点拔】根据m、n是非负数列不等式组求出k的取值范围，再根据二次函数的增减性求解即可．
【解答】解：∵m﹣k+1＝2k+n＝1，
∴m＝k，n＝1﹣2k，
∵m、n、k为非负实数，
∴，
解得0≤k，
令y＝2k2﹣8k+6＝2（k﹣2）2﹣2，
∴当k，y有最小值2×（2）2﹣2．
即代数式2k2﹣8k+6的最小值为．
故答案为：．
13．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM＝ 2 时，四边形ABCN的面积最大．
【思路点拔】设BM＝x，则MC＝4﹣x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
【解答】解：设BM＝x，则MC＝4﹣x，
∵∠AMN＝90°，∠AMB+∠NMC＝90°，∠NMC+∠MNC＝90°，
∴∠AMB＝90°﹣∠NMC＝∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则，即，
解得CN，
∴S四边形ABCN4×[4]x2+2x+8，
∵0，
∴当x2时，S四边形ABCN最大．
故答案为：2．
14．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为 3 ．
【思路点拔】首先设DE＝x．依题意求出△BDE∽△BCA，然后根据矩形的面积以及二次函数求最值的方法求解．
【解答】解：设DE＝x．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA．
∴，BE，则AE＝4．
则矩形AEDF的面积是x（4）4x，根据二次函数求最值的方法，知矩形面积的最大值是3．
故答案为：3．
三．解答题（共1小题）
15．如图：△ACB与△DCE是全等的两个直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝4，BC＝2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若△DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD′；
（3）在△DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使△DCE与△ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．
【思路点拔】（1）延长DE交AB于点G，由三角形的内角和能证明DE与AB的关系，
（2）由三角形相似能够计算出平移距离DD′，
（3）当点E恰好落在边AB上前时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形，当C点与B点重合后向右移时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形，y与x的函数关系式分为两部分，利用相似求出CN长度，从而得到AN长度，再得到NM、AM长度，
利用S△ABC﹣S△ANM得出四边形面积．
【解答】解：（1）DE⊥AB，如图
延长DE交AB于点G，
在△AGE与△DCE中，
∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEC，
∴∠AGE＝∠ECD＝90°，
∴DE⊥AB．
（2）
作图如图，当点E恰好落在边AB上，
Rt△D′HF∽Rt△FHB，
∴，
解得HB＝1，
∴DD′＝1，
（3）当平移过程中的平移距离为0＜x≤1时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形MCC′E′，
∴四边形MCC′E′面积为：CC′×（MC+C′E′）x（22）x2+2x；（0＜x≤1），
当1＜x＜2时，△DCE与△ACB的公共部分不是四边形，
当2≤x＜4时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形NCBM，
∵CC'＝x，所以D'C＝4﹣x，
∵NC∥E″C″，
∴△D″CN∽△D″C″E″，
∴，
，
∴CN＝2，
∴AN＝4﹣（2）＝2，
∵△ANM∽△ABC，
∴，
∴分别求出AM，
NM，
∴四边形NCBM面积为：
S△ABC﹣S△ANM2×4，
x2x，（2≤x＜4）．中小学教育资源及组卷应用平台
2.2.6二次函数的最值 同步练习
一．选择题（共7小题）
1．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
2．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1或5 C．5 D．﹣5
3．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A． B．或
C．2或 D．2或或
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点．连接DF，则下列结论 ①∠FDP＝30°；②∠AC′C＝∠DAC′+∠DCC′；③；④△ACC′的面积最大值；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
7．菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
8．如果抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 ．
9．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长9m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形劳动实践基地（如图所示）．要使围成的两块矩形总种植面积最大，则BC应设计为 m．
10．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝ ．
11．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值是 ．
12．已知m、n、k为非负实数，且m﹣k+1＝2k+n＝1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为 ．
13．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM＝ 时，四边形ABCN的面积最大．
14．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为 ．
三．解答题（共1小题）
15．如图：△ACB与△DCE是全等的两个直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝4，BC＝2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若△DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD′；
（3）在△DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使△DCE与△ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．
