山东师范大学附属中学2024-2025学年高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东师大附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若命题“，使得”是假命题，则实数的范围为( )
A. B.
C. D. ，或
3.已知函数的图象如图所示，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合，，满足，则( )
A. B. C. D.
10.若，则下列不等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
11.取一条长度为的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：任意，；；，则关于该函数下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上的奇函数，时，，则时，______．
13.已知两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
14.高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过的最大整数，例如，，现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算化简下列各式：
化简：；
若其中，分别求出与的值；
化简：．
16.本小题分
已知函数．
若不等式恒成立，求的取值范围；
解不等式．
17.本小题分
如图，在周长为的矩形中其中，现将沿折叠到，设与交于点，设．
求证：的周长为定值；
试用表示的长，并求的取值范围；
当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值．
18.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
求出的解析式；
判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明该结论；
解不等式．
19.本小题分
设，，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足已知函数．
Ⅰ证明：函数的图象关于点对称；
Ⅱ已知函数的图象关于点对称，当时，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：原式
；
因为，所以；
因为，且，所以，，
所以；
原式
．
16.解：函数，
因为不等式恒成立，
即不等式恒成立，
当时，不等式即为，显然不成立，舍去；
当时，要使得恒成立，
则满足，
即，
解得，
即的取值范围为；
由不等式，可得，
即，
若时，不等式即为，解得，不等式的解集为；
若时，不等式可化为，
当时，不等式等价于，解得或，
不等式的解集为；
当时，不等式等价于，
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为．
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
17.解：证明：由题意可知，，，
所以≌，
所以，，，
所以定值，
所以的周长为定值．
由折叠可知，
所以，即，
由知，
即，所以，
在直角中，由勾股定理可得，
即，
化简得，
因为，，
所以且，即，
所以，．
在中，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积取得最大值，为．
18.解：由，得，
而函数是定义域为的奇函数，可得，
则，
由，可得，解得，
；
在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
则
．
，，，
则，即，
可知在区间上单调递增；
是定义域为的奇函数，且在上为增函数，
则由，得，
，解得，即．
不等式的解集为．
19.解：Ⅰ，，
．
．
即对任意的，都有成立．
函数的图象关于点对称．
Ⅱ，易知在上单调递增．
在时的值域为．
记函数，的值域为．
若对任意的，总存在，使得成立，则．
时，，
，即函数的图象过对称中心．
当，即时，函数在上单调递增．由对称性知，在上单调递增．
函数在上单调递增．
易知又，，则．
由，得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由对称性，知在上单调递增，在上单调递减．
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
结合对称性，知或．
，．
又，．
易知又，
．
当时，成立．
当，即时，函数在上单调递减．
由对称性，知在上单调递减．
函数在上单调递减．
易知又，
，则．
由，得解得．
综上可知，实数的取值范围为．
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